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GeoGebra Applets zur Vorlesung "Analysis 1-2"

Hier werden die GeoGebra applets zur Vorlesung gesammelt. Ich erhebe keinerlei Anspruch auf Originalität oder Urheberschaft, sondern lediglich auf didaktische Nützlichkeit...

Inhaltsverzeichnis

1. Konvergenz der geometrischen Reihe

2. Begriff des Grenzwerts in einem Punkt

3. \( (\varepsilon,\delta) \)-Kriterium für Stetigkeit in einem Punkt

4. Ober- und Untersummen für das Riemann-Integral


1. Konvergenz der geometrischen Reihe

Die geometrische Reihe \(\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{2^n}\) konvergiert für \(\|z\|<2\). Der Schieberegler erlaubt es, die Obergrenze \(m\) zu variieren, während \(z\) durch die Animation auf dem Kreis mit Radius 2 wandert (links unten kann man die Animation jederzeit anhalten; es ist auch möglich, \(z\) mit der Maus auf dem Kreis wandern zu lassen). Die orangene Kurve verbindet die Partialsummen \(s_m = \sum_{n=0}^m \frac{z^n}{2^n}\), so dass man sowohl die Abhängigkeit von \(m\) als auch von \(z\) genau untersuchen kann. Da der erste Summand der Reihe unabhängig von \(z\) immer 1 ist, beginnt die Kurve immer im Punkt (1,0).

Allerdings liegt \(z\) nicht genau auf dem Kreis, weil man dann in einigen Punkten nicht gut erkennen würde, was passiert, sondern auf einer Ellipse, die die x-Achse etwas außerhalb des Kreises (Reihe also divergent), die y-Achse dagegen etwas innerhalb des Kreises (Reihe also konvergent) schneidet - bei Variation von \(z\) sieht man dann hübsch, wie sich das Konvergenz-Verhalten umkehrt. Zur Orientierung überlege man sich, was in den Ecken passiert:


2. Begriff des Grenzwerts in einem Punkt

In der Vorlesung wurde der Grenzwert einer Abbildung in einem Punkt definiert. Dieses Applet ist geeignet zur Veranschaulichung dieses Begriffs für Funktionen \(h: \ A:=\mathbb{R}^2 - \{r_1,\ldots, r_n\}\rightarrow \mathbb{R}\), wobei \(r_1,\ldots, r_n\) Punkte sein dürfen, in denen die Funktion \(h\) nicht definiert ist. Sei \(q\in \mathbb{R}^2\). Wir sagen, dass \(\lim_{p\rightarrow q} h(p)\) existiert, falls folgendes gilt:
Für jede gegen \(q\) konvergierende Folge \(a_n\neq q \) aus \(A\) ist die Bildfolge \(h(a_n)\) konvergent, und alle diese Bildfolgen konvergieren gegen das gleiche Element \(y\in \mathbb{R}\). Wenn dies gilt, so schreiben wir \(\lim_{p\rightarrow q} h(p)=y\).

Im Applet sehen Sie links den Graphen der Funktion \(h\), die man rechts verändern kann. Je nach Browser und Bildschirmgröße kann es notwendig sein, die Begrenzung zwischen den beiden Feldern zu verschieben, um alles gut lesen zu können. Die Funktion \(h=\frac{xy^2}{x^2+y^4}\) ist etwa nur im Punkt \(r_1= (0,0)\) nicht definiert, so dass ihr Grenzwert in diesem Punkt von besonderem Interesse ist. Rechts sieht man weiterhin \(\mathbb{R}^2\), also bis auf die Punkte \(r_i\) genau den Definitionsbereich von \(h\). Die Punkte \(p\) und \(q\) können darin einfach verschoben werden, so dass man sieht, von welchem Punkt \(p\) man sich dem Punkt \(q\) nähert; die Folge, mit der wir dies tun wollen, ist wie angegeben \( (x_n,y_n)\), welche die zwei Exponenten \(k_x, k_y\) als Parameter für die "Näherungsgeschwindigkeit" hat. Die Folge ist rechts eingeblendet, links sieht man sowohl die Folge als auch ihre Bildfolge auf dem Graphen. Wählt man etwa \(q=(0,0)\) und startet von \(p=(1,1)\), so erkennt man gut:

Damit existiert der Grenzwert in \( (0,0)\) nicht. Durch Drehen des Graphen versteht man, dass die Funktion einerseits entlang der Koordinaten-Achsen verschwindet, andererseits aber bei \( (0,0) \) sich mit einem scharfen, bis 1/2 hochreichenden Knick hochfaltet. Dadurch hängt der Grenzwert so stark von der Näherungsrichtung und -geschwindigkeit ab, dass der Grenzwert nicht existiert.

Untersuchen Sie analog, ob der Grenzwert von \(\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}\) bei \( (0,0)\) existieren könnte (Achtung: Das Applet schult nur die Anschauung, ersetzt aber keinen Beweis).


3. \( (\varepsilon,\delta) \)-Kriterium für Stetigkeit in einem Punkt

Das \( (\varepsilon,\delta)\)-Kriterium für Stetigkeit in einem Punkt ist unter Studenten als unanschaulich verschrien - dieses Applet soll Ihnen den Schrecken davor nehmen. Gegeben sei also eine Funktion \(f: I \rightarrow \mathbb{R}\), definiert auf einem Intervall \(I\). Es treten auf:

Weil das grüne Bildintervall \( f(B_\delta (x_0))\) direkt vom roten \(\delta\)-Intervall um \(x_0\) abhängt, passt es sich automatisch an, wenn man \(\delta\) über den Schieberegler verändert.

Die Funktion \(f\) ist nun genau dann stetig in \(x_0\), falls zu jeder BLAUEN \(\varepsilon\)-Kugel um \(f (x_0)\) eine ROTE \(\delta\)-Kugel um \(x_0\) existiert, für die der GRÜNE Bildbereich vollständig in der BLAUEN \(\varepsilon\)-Kugel liegt. Oder kürzer: Das "Grüne" muss ins "Blaue" (durch variieren des Roten). Dabei unterliegt das blaue \(\varepsilon\)-Intervall keinerlei Einschränkungen, es darf ganz beliebig sein. Für das hier eingestellt Polynom liegt Stetigkeit in allen Punkten vor, wie man sich leicht klar macht.

Betrachtet man dagegen die Funktion \(f(x)=\mathrm{sign}(x)\) (sie ist in Geogebra so definiert, dass sie bei 0 den Wert 1 hat), dann erkennt man, dass in \(x_0=0\) die Bedingungen nicht für alle \(\varepsilon\) erfüllbar ist. Weil die Funktion stückweise konstant ist, sieht man den Graphen nicht so gut; Sie Können das Beispiel variieren mit Funktionen der Bauart \(x\cdot \mathrm{sign}(x-1)\).


4. Ober- und Untersummen für das Riemann-Integral

Hier können Sie die Funktion \(f(x)\) selber auswählen und über den Schieberegler die Anzahl der Intervalle \(n\) sowie die Intervallgrenzen \(a\) und \(b\) einstellen. Alles andere ist eigentlich selbsterklärend.


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Ilka Agricola / 22.07.2017, last modified 26.05.2020