AG Numerik

Stochastische partielle Differentialgleichungen (WiSe 2014/2015)

Dr. Petru A. Cioica

Termine

Beginn: 13. Oktober 2014

  • Mo. 12:15 - 13:45 (SR IV (05A35), Lahnberge)
  • Mi. 10:15 - 11:45 (SR IV (05A35), Lahnberge)

Aufgabenblätter

  • Blatt 1 (ausgegeben am 29. Oktober 2014)
  • Blatt 2 (ausgegeben am 19. November 2014)
  • Blatt 3 (mündlich)

Materialien

Inhalt und Ziele

Stochastische partielle Differentialgleichungen sind das Mittel der Wahl bei der Modellierung raum-zeilticher Entwicklungen, die von zufälligen Faktoren beeinflusst werden. Sie werden sowohl zur Beschreibung naturwissenschaftlicher Phänomene herangezogen als auch bei der Analyse ökonomischer und finanzwissenschaftlicher Zusammenhänge eingesetzt.

Die Vorlesung hat das Ziel, Studierende an die Theorie stochastischer partieller Differentialgleichungen heranzuführen. Zum einen sollen Begriffe aus der Stochastik wie Gauß'sche Maße, Brown'sche Bewegung, bedingte Erwartung und Martingale im unendlichdimensionalen Kontext etabliert werden. Darauf aufbauend kann das stochastische Itô-Integral entsprechend erweitert werden. Gleichzeitig werden funktionalanalytische Konzepte wie Hilbert-Schmidt- und Spurklassenoperatoren erörtert und es wird in die Halbgruppentheorie eingeführt. Mit Hilfe all dieser Bausteine lässt sich der Begriff „stochastische partielle Differentialgleichung“ mathematisch fassen und eine Lösungstheorie aufbauen.

Inhaltsverzeichnis

0. Einführung

1. Integration in Banachräumen
1.1. Messbarkeit Banachraum-wertiger Funktionen
1.2. Das Bochner-Integral
1.3. Die Lebesgue-Bochner-Räume und f.ü.

2. Gauß'sche Maße (in Hilberträumen)

3. Q-Wiener Prozesse: Definition und Existenz

4. Hilbert-Schmidt-Operatoren, Pseudo-Inversen und der Cameron-Martin-Raum
4.1. Hilbert-Schmidt-Operatoren
4.2. Die Pseudo-Inverse eines linearen Operators
4.3. Der Cameron-Martin-Raum

5. Bedingte Erwartungen und Martingale
5.1. Bedingte Erwartung in separablen Banachräumen
5.2. Banachraum-wertige Martingale

6. Stochastische Integration bzgl. Q-Wiener Prozesse
6.1. Das stochastische Integral elementarer Prozesse
6.2. Das stochastische Integral quadratisch integrierbarer Prozesse
6.3. Erweiterungen des stochastischen Integrals
6.4. Eigenschaften des stochastischen Integrals

7. Halbgruppen von Operatoren und deren Erzeuger

8. Stochastische partielle Differentialgleichungen

9. Beispiele

A. Appendix

Zielgruppe

Studierende der Mathematik (B.Sc./M.Sc.), Wirtschaftsmathematik (B.Sc./M.Sc.), Mathematik (LA Gymnasien) sowie an Stochastik interessierte Promovierende.

Vorkenntnisse

Vorausgesetzt sind Kenntnisse aus der Stochastik wie sie etwa in dem Vertiefungsmodul „Wahrscheinlichkeitstheorie (Stochastik II)“ und/oder in der Vorlesung „Stochastische Analysis“ erworben werden können. Kenntnisse aus der Funktionalanalysis sind von Vorteil, keinesfalls aber eine Voraussetzung. Es werden alle benötigten Begriffe eingeführt und erklärt. Für Studierende mit Vorkenntnissen aus beiden Bereichen ist die Vorlesung die ideale Gelegenheit die beiden mathematischen Disziplinen miteinander zu kombinieren. Bei der Gestaltung der Vorlesung wird so weit wie möglich Rücksicht auf den Kenntnisstand der TeilnehmerInnen genommen.

Umfang

4 SWS (3 Vorlesung + 1 Übung).