Forschungsschwerpunkte
- Adaptive Wavelet-Verfahren für Operatorgleichungen
- Adaptive Verfahren für elliptische Probleme
- Adaptive Verfahren für parabolische Probleme
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Das Ziel ist die Übertragung der bereits existierenden adaptiven
Strategie für elliptische Probleme auf den Fall parabolischer
Gleichungen. Hierzu muss eine geeignete Schrittweitensteuerung in
Zeitrichtung entwickelt werden. In jedem Zeitschritt kann dann auf den
bereits vorhandenen voll adaptiven elliptischen Löser im Ortsraum
zurückgegriffen werden.
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- Adaptive Verfahren für inverse Probleme
Die Entwicklung adaptiver Verfahren für inverse Probleme stellt derzeit
eine große Herausforderung dar. Die bekannten, voll adaptiven
Verfahren funktionieren so lange exzellent, wie der zu Grunde liegende
Operator beschränkt invertierbar ist. Genau dies ist aber für
inverse Probleme auf Grund von Daten- und Operatorfehlern nicht der Fall.
Ein erster Ansatz besteht darin, das
Tikhonov-Philipps-Regularisierungsverfahren zu verwenden und die
entstehenden Normalengleichungen mit den bekannten adaptiven Verfahren
zu lösen.
Dieses Projekt wird in Zusammenarbeit mit
P. Maaß
(Universität Bremen),
H.-J. Reinhardt
(Universität Siegen) und
M. Yamamoto
(Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo)
durchgeführt.
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- Regularitätstheorie partieller Differentialgleichungen
Dieses Forschungsprojekt wird motiviert durch die folgende Grundsatzfrage:
In welchen Fällen bieten adaptive numerische Algorithmen
tatsächlich Vorteile gegenüber nicht-adaptiven (uniformen)
Verfahren?
Die Konvergenzordnung nicht-adaptiver Verfahren wird im Allgemeinen durch
die Regularität der exakten Lösung der zu Grunde liegenden
Gleichung in der klassischen Sobolevskala bestimmt. Eine theoretische
Analyse zeigt nun, dass im Gegensatz dazu die erzielbare
Approximationsordnung für adaptive Verfahren durch die Regularität
in nichtklassischen Glattheitsräumen, den Besovräumen,
bestimmt wird. Um also sicherzustellen, dass für ein gegebenes
Problem adaptive Verfahren hilfreich sein können, muss die
Besov-Regularität der exakten Lösung untersucht werden.
Dieses Projekt wird in Kooperation mit
R. DeVore
(University of South Carolina)
durchgeführt.
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- Konstruktion von Wavelets
- Konstruktion interpolierender Skalierungsfunktionen
Ziel des Projektes ist die Konstruktion möglichst glatter und
möglichst lokalisierter Skalierungsfunktionen und Wavelets für
allgemeine Dilatationsmatrizen. Die Anzahl der benötigten Wavelets
und damit die Komplexität der Algorithmen wird durch die Determinante
der Dilatationsmatrix bestimmt. Man ist also an Matrizen mit möglichst
kleiner Determinante interessiert. Für viele Anwendungen, etwa im
CAGD, hat sich insbesondere die Verwendung interpolierender
Skalierungsfunktionen als hilfreich erwiesen.
Dieses Projekt wird in Kooperation mit
K. Gröchenig
(University of Connecticut),
P. Maaß
(Universität Bremen) und
G. Teschke
(Universität Bremen)
bearbeitet.
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- Dualsysteme für allgemeine Skalierungen
Für interpolierende Skalierungsfunktionen kann eine Wavelet-Basis
in Form einer verallgemeinerten hierarchischen Basis sofort angegeben werden.
Aus Stabilitätsgründen ist dies jedoch nicht immer
zweckmäßig. Um stabile Basen in Skalen von Funktionenräumen
wie etwa den Sobolevräumen zu erhalten, werden geeignete Dualsysteme
benötigt.
An diesem Projekt arbeiten wir gemeinsam mit
P. Maaß
(Universität Bremen) und
G. Teschke
(Universität Bremen).
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- Wavelet-Quadraturverfahren
Setzt man Wavelet-Verfahren zur Signalanalyse bzw. zur numerischen
Behandlung von Operatorgleichungen ein, so müssen früher oder
später Integrale der Form
berechnet werden. Ein naiver Zugang über Standard-Quadraturformeln
würde hier nicht zum Ziele führen, da das Wavelet
im Allgemeinen nicht sehr glatt ist bzw. nicht explizit bekannt ist.
In diesem Zusammenhang haben sich spezielle Quadraturformeln
vom Gauß-Typ als sehr leistungsfähig erwiesen.
Dieses Projekt wird in Kooperation mit
A. Barinka
(RWTH Aachen),
T. Barsch
(RWTH Aachen) und
M. Konik
(TU Chemnitz)
bearbeitet.
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- Wavelet-Verfahren zur Analyse von Radardaten
Ziel jeder Radartechnik ist es, Informationen über ein Objekt mittels
der Analyse von reflektierten Signalen zu erhalten. Für ein
punktförmiges Objekt ist die Analyse noch recht einfach.
Zusätzliche Schwierigkeiten treten allerdings auf, wenn das zu
untersuchende Objekt aus einem ausgedehnten Medium, beschrieben durch
eine Reflektionsdichte, besteht. Dann kann diese Dichte durch Aussenden
eines einzelnen Signals nicht mehr rekonstruiert werden. Es liegt nun
nahe, nicht nur ein einzelnes Signal, sondern eine Familie von Signalen
auszusenden. Man kann zeigen, dass dieses Vorgehen eine vollständige
Rekonstruktion ermöglicht, vorausgesetzt, dass die ausgesandten Signale
ein Frame bilden.
Dieses Projekt wird in Kooperation mit
P. Maaß
(Universität Bremen) und
G. Teschke
(Universität Bremen)
bearbeitet.
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- Zeit-Frequenz-Analyse, Frames
Ziel des Projektes ist die Konstruktion von Frames für Coorbiträume
auf Mannigfaltigkeiten. Solche Coorbiträume werden mittels
quadratintegrabler Darstellungen geeigneter Gruppen definiert.
Zwei wichtige Spezialfälle auf der euklidischen Ebene sind die
Besov- und die Modulationsräme, die als Coorbiträume bezüglich
Darstellungen der affinen bzw. der Weyl-Heisenberg-Gruppe interpretiert
werden könnnen. Für diese Fälle lassen sich mittels der
Feichtinger-Gröchenig-Theorie geeignete Frames konstruieren.
Wir befassen uns mit der Verallgemeinerung dieser Theorie für den
Fall der Darstellung auf Mannigfaltigkeiten, insbesondere auf Sphären.
Wir kooperieren hierbei mit
G. Steidl (Universität Mannheim)
und
G. Teschke
(Universität Bremen).
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