PropädeutikumMathematik
Wintersemester 2002/2003
Beginn: 17. Oktober 2002
Zeit: Donnerstag, 17:15-19:00 Uhr
Ort: Hörsaal 6, Biegenstr. 14
(siehe auch folgenden Link)
Teil I: Das Theorem von Morley
Prof. Dr. F. W. Knöller
OStR W. Kempf, OStRin B. Noelle (Philippinum)
OStRin R. Wahlen, StDir W. Werner (Martin-Luther-Schule)
Inhalt
Im Jahre 1904 hat der amerikanische Mathematiker Frank Morley einen Satz der ebenen Geometrie gefunden, der in seiner Ästhetik den Elementen Euklids in nichts nachsteht - der aber nicht elementar-geometrisch ist, da man Winkel i.a. mit Zirkel und Lineal nicht dritteln kann: Die Schnittpunkte der benachbarten Winkeldreiteilenden der Winkel eines Dreiecks bilden ein gleichseitiges Dreieck.
Mit Hilfe der komplexen Zahlen wird ein konzeptioneller - und daher durchsichtiger - Beweis dieses Satzes erarbeitet, der auf den Fields-Medaillisten Alain Connes (1998) zurückgeht. Nebenbei beweisen wir den Fundamentalsatz der Algebra: Jedes nicht-konstante Polynom mit komplexen Koeffizienten hat wenigstens eine komplexe Nullstelle.
Teil II: Chaos
Prof. Dr. S. Dahlke
T. Raasch
OStR W. Kempf, OStRin B. Noelle (Philippinum)
OStRin R. Wahlen, StDir W. Werner (Martin-Luther-Schule)
Inhalt
Viele in der Natur vorkommende Phänomene lassen sich durch sogenannte dynamische Systeme beschreiben. Grob gesprochen verhält sich nun ein solches dynamisches System chaotisch, wenn kleine Änderungen in den Anfangsdaten gravierende Auswirkungen auf das Langzeitverhalten haben, wenn also langfristige Prognosen schwierig bis unmöglich sind. Ein Beispiel kennen wir alle: den (meistens) hinlänglich ungenauen Wetterbericht. In diesem Propädeutikum wollen wir, ausgehend von ganz einfachen mathematischen Grundgleichungen, die wichtigsten Begriffe der Chaostheorie (iterierte Funktionensysteme, Attraktoren, Fixpunkte, Bifurkationen) kennen lernen und (hoffentlich) verstehen. Hierfür wollen wir ein einfaches mathematisches Modell,
den quadratischen Iterators, analysieren. Es handelt sich hierbei
um ein sehr einfaches Populationsmodell, welches sich über einen reellen Modellparameter
a steuern lässt. Sämtliche chaotischen
Effekte lassen sich für verschiedene Werte von a beobachten:
stabile und instabile Fixpunkte, Bifurkation/Periodenverdopplung, periodische Orbits,
Chaosbänder, etc.
Zum zweiten Teil des Propädeutikums werden auch praktische Übungen
mit Hilfe des Computeralgebrasystems Maple angeboten, um die chaotische Phänomene
auch einmal selbst graphisch erzeugen und studieren zu können.
Die praktischen Übungen finden zu den
Propädeutikumsterminen im Computerraum der Martin-Luther-Schule statt (16.1.2003, 23.1.2003).
Beispiel: Feigenbaumdiagramme
Feigenbaumdiagramme zeigen die stabilen Fixpunkte (Attraktoren) eines dynamischen
Systems gegenüber eines variierenden Modellparameters. Für den quadratischen Iterator
zeigen sich hier besonders deutlich verschiedene Effekte chaotischer dynamischer Systeme
für wachsenden Modellparameter a (Abszisse):
zunächst stabile Fixpunkte, dann der erste Bifurkations-/Verzweigungspunkt,
weitere Bifurkationspunkte, Chaosbänder
und schließlich der Übergang ins Chaos für großen Modellparameter.
Zoom in ein Feigenbaumdiagramm hinein:
Skript
Ein Skriptum zur Schülervorlesung ist noch in Arbeit, es wird dann hier
zum Download bereit gestellt. |
