Die Grippewelle

Simulation einer Reaktions-Diffusions-Gleichung mit zwei Variablen

• Ein einfaches Modell für den Verlauf von Epidemien verwendet zwei Bevölkerungsanteile, die Kranken K(t) (rot) und die Ansteckungs-Gefährdeten G(t) (grün), welche nicht durch Impfung o.ä. immun sind.
• Man geht davon aus, dass die Ansteckungsrate proportional zum Produkt K(t)G(t) der beiden Anteile ist, da die Wahrscheinlichkeit einer Ansteckung umso höher ist, je mehr Gefährdete auf Kranke treffen.
  Daher vermindert sich der Anteil G(t) der Gefährdeten mit diesem Produkt, da ein Teil krank wird und erhöht entsprechend den Anteil der Kranken K(t).
• Außerdem vermindert sich der Anteil der Kranken mit den Beitrag -aK(t) der Genesenen (oder Gestorbenen bei schweren Krankheiten), 0<a<1.
• In einem kleinen, isolierten Gebiet entwickeln sich diese Anteile insgesamt nach der gewöhnlichen Differentialgleichung
  

  	K'(t)=  K(t)G(t)-a K(t),	(Leute erkranken neu, sind für eine gewisse Zeit krank)
  	G'(t)= -K(t)G(t),	(Gefährdete werden krank)

• Schwellensatz der Epidemiologie: Bei der ersten Gleichung sieht man in der Form K'(t)=(G(t)-a)K(t), dass für G(0)<a der Anteil der Kranken K(t) nie anwächst, da auch G(t) nie wächst. Eine Immunisierung der Population (durch Impfung) senkt die Zahl der Gefährdeten und verhindert eine Epidemie.
  Nur für G(0)>a kommt es tatsächlich zu einer starken Zunahme der Kranken, also zu einer Epidemie.
• Ausgedehnte Gebiete: Verteilt sich die Population in einem größeren Gebiet, hängen die Anteile K,G auch vom Ort (x,y) ab: K(t,x,y), G(t,x,y). Die Infektion verbreitet sich durch die Bewegung der Individuen im Gebiet.
  Diese Verbreitungsart kann durch Hinzufügen eines Diffusions-Terms in der gewöhnlichen Differentialgleichung modelliert werden. Dieses Modell liegt der folgenden Simulation zugrunde.

Ablauf: Am Anfang ist der Anteil der Gefährdeten konstant hoch G(0,*,*)=0.9 und größer als a=0.3, eine Epidemie also möglich. »  Ein kleiner Infektionsherd liegt zu Beginn in der linken Ecke des Bereichs. Dort wächst die Zahl der Kranken rapide an, die Zahl der Gefährdeten fällt entsprechend. »  Während sich nach einer gewissen Zeit im Infektionsherd die Zahl der Kranken wieder langsam vermindert, breitet sich die Infektion durch 'Diffusion' in die Nachbarbereiche aus, wo sich ein analoger Ablauf ergibt. »  Insgesamt wandert das Maximum der Krankenzahlen wie eine Welle vom Infektionsherd in die Bereiche mit vielen Gefährdeten aus.