AG Numerik

Vorlesung Quasi-Monte Carlo & Diskrepanz (WiSe 2015/2016, Universität Siegen)

Dr. M. Weimar

Die Vorlesung wendet sich an Graduierte und Studierende höherer Semester und setzt Kenntnisse der Analysis und der linearen Algebra im Umfang der Grundvorlesungen voraus. Zusätzliche Grundkenntnisse der Funktionalanalysis und der Maßtheorie sind wünschenswert, aber nicht notwendig.


Aktuelles

  • Die Vorlesung beginnt voraussichtlich am 22.10.2015.
  • Bitte melden sie sich zeitnah im LSF zur Veranstaltung an!

Termine

Die Veranstaltung (Nr. 1062141234 im LSF) findet während der Vorlesungszeit im Wintersemester 2015/2016 zweimal wöchentlich in Vorlesungsform (4 SWS) statt:
  • Do 16:00 - 18:00 Uhr, Raum ENC-B 205
  • Fr 12:00 - 14:00 Uhr, Raum ENC-B 205

Inhalt

Viele Probleme in Anwendungsgebieten der Mathematik (wie z.B. der Physik, Chemie, Biologie, Statistik, Computergrafik, Finanzmathematik) lassen sich auf die Berechnung hoch-dimensionaler Integrale zurückfüren. In den meisten Fällen sind diese Integrale allerdings nicht exakt berechenbar, sondern müssen numerisch durch Quadraturformeln approximiert werden. Eine spezielle Klasse solcher Algorithmen, die quasi-Monte Carlo Methoden, soll in der Vorlesung vorgestellt und genauer untersucht werden. Da diese Verfahren (im Gegensatz zu Monte Carlo Methoden, welche auf zufälligen Punktenmengen basieren) den Wert des Integrals durch das arithmetische Mittel der Funktionswerte über einer deterministischen Punktmenge schätzen, stellen Verteilungseigenschaften solcher Mengen (ihre Diskrepanz) einen weiteren zentralen Bestandteil unserer Vorlesung dar.

Themen:
  • Gleichverteilung modulo 1
  • Klassische Diskrepanzabschätzungen (Roth, Schmidt)
  • Ausgewählte Punktmengen (van der Corput, Halton-Hammersley)
  • Konstruktionsprinzipien (Netze und Gitter)
  • Integrationsfehler auf Hilberträmen mit reproduzierendem Kern
  • Hlawka-Zaremba-Identität und Koksma-Hlawka-Ungleichung
  • Fluch der Dimension

Prüfung

  • Voraussetzung für die Vergabe eines Leistungsnachweises ist eine mündliche Prüfung. Entsprechende Termine werden zum Ende der Vorlesungszeit auf Anfrage vergeben.

Literatur

  • Dick, J. und Pillichshammer, F.: Digital Nets and Sequences. Discrepancy Theory and Quasi-Monte Carlo Integration. Cambridge University Press, Cambridge, 2010.
  • Kuipers, L., Niederreiter, H.: Uniform Distribution of Sequences. Pure and Applied Mathematics. John Wiley & Sons, New York, 1974.
  • Matoušek, J.: Geometric Discrepancy. An Illustrated Guide. Springer-Verlag, Berlin, 1999.
  • Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Wiki. Online-Ressource.
  • Müller-Gronbach, T., Novak, E. und Ritter, K.: Monte-Carlo Algorithmen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2012.
  • Niederreiter, H.: Random Number Generation and Quasi-Monte Carlo Methods. CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, Vol. 63. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 1992.
  • Novak, E. und Woźniakowski, H.: Tractability of Multivariate Problems. Volume I: Linear Information. EMS Tracts in Mathematics 6. European Mathematical Society, Zürich, 2008.
  • Novak, E. und Woźniakowski, H.: Tractability of Multivariate Problems. Volume II: Standard Information for Functionals. EMS Tracts in Mathematics 12. European Mathematical Society, Zürich, 2010.
  • Pillichshammer, F.: Zahlentheoretische Methoden in der Numerik. Skript zur Vorlesung im WS 2012/2013, Johannes Kepler Universität Linz, 2013.
  • Sloan, I.H. und Joe, S.: Lattice Methods for Multiple Integration. Oxford Science Publications. Oxford University Press, New York, 1994.

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Zuletzt aktualisiert: 16.07.2015