Aktuelle Forschungsschwerpunkte
Auf dieser Seite finden Sie eine Liste mit aktuellen Forschungsschwerpunkten. Informationen über frühere Forschungsprojekte finden Sie hier.
- Koordination des DFG-Schwerpunktprogramm 1324
- Vom September 2008 bis Dezember 2014 wurde das DFG-SPP 1324 von Prof. Dahlke koordiniert.
- Adaptive Wavelet-Verfahren für Operatorgleichungen
- Adaptive Verfahren für elliptische Probleme
Ziel dieses Forschungsvorhabens ist das Design von adaptiven Wavelet-Verfahren für Operatorgleichungen, insbesondere elliptische partielle Differentialgleichungen. Die Äquivalenz von Sobolevnormen und gewichteten Folgennormen von Wavelet-Koeffizienten erlaubt die Konstruktion von verlässlichen und effizienten a posteriori-Fehlerschätzern. Diese führen auf adaptive Strategien, deren Konvergenz gezeigt werden kann.
Die aktuellen Forschungsschwerpunkte sind derzeit:
- Adaptive Wavelet-Frame-Verfahren
- Adaptive Wavelet-Gebietszerlegungsverfahren
- Adaptive Wavelet-Verfahren für nichtlineare elliptische Probleme
- Adaptive Verfahren mittels Tensor-Wavelets
- Entwicklung adaptiver Wavelet-Verfahren mittels Quarkonial Decompositions
- Entwicklung adaptiver Verfahren für die p-Poisson-Gleichung (Projektbeschreibung)
Dieses Projekt wird gemeinsam mit Rob Stevenson, Massimo Fornasier, Lars Diening und Thorsten Raasch bearbeitet.
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- Adaptive Verfahren für parabolische Probleme
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Das Ziel ist die Übertragung der bereits existierenden adaptiven
Strategie für elliptische Probleme auf den Fall parabolischer
Gleichungen. Hierzu muss eine geeignete Schrittweitensteuerung in
Zeitrichtung entwickelt werden. In jedem Zeitschritt kann dann auf den
bereits vorhandenen voll adaptiven elliptischen Löser im Ortsraum
zurückgegriffen werden.
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- Adaptive Verfahren für inverse Probleme
Die Entwicklung adaptiver Verfahren für inverse Probleme stellt derzeit
eine große Herausforderung dar. Die bekannten, voll adaptiven
Verfahren funktionieren so lange exzellent, wie der zu Grunde liegende
Operator beschränkt invertierbar ist. Genau dies ist aber für
inverse Probleme auf Grund von Daten- und Operatorfehlern nicht der Fall.
Forschungssschwerpunkte sind derzeit:
- Entwicklung adaptiver Wavelet-Verfahren für invers parabolische Probleme (Projektbeschreibung)
- Entwicklung von Beschleunigungsstrategien mittels decreasing thresholding für lineare und nichlineare inverse Probleme
Dieses Projekt wird in Zusammenarbeit mit Peter Maaß, Rob Stevenson, Thorsten Raasch und Massimo Fornasier durchgeführt.
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- Adaptive Verfahren für stochatische partielle Differentialgleichungen
Die adaptive Behandlung von stochastischen partiellen Differentialgleichungen wird durch das Auftreten von Singularitäten, die durch die stochastischen Therme induziert werden, zusätzlich erschwert.
Im Mittelpunkt des Interesses stehen derzeit:
- Entwicklung von adaptiven Verfahren für stochastische elliptische und parabolische partielle Differentialgleichungen mittels Wavelet-Frame-Verfahren (Projektbeschreibung)
- Konstruktion von stochastischen Prozessen in Besov-Räumen
Dieses Projekt wird gemeinsam mit Klaus Ritter bearbeitet.
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- Regularitätstheorie partieller Differentialgleichungen
Dieses Forschungsprojekt wird motiviert durch die folgende Grundsatzfrage: In welchen Fällen bieten adaptive numerische Algorithmen tatsächlich Vorteile gegenüber nicht-adaptiven (uniformen) Verfahren? Die Konvergenzordnung nicht-adaptiver Verfahren wird im Allgemeinen durch die Regularität der exakten Lösung der zu Grunde liegenden Gleichung in der klassischen Sobolev-Skala bestimmt. Eine theoretische Analyse zeigt nun, dass im Gegensatz dazu die erzielbare Approximationsordnung für adaptive Verfahren durch die Regularität in nichtklassischen Glattheitsräumen, den Besov-Räumen, bestimmt wird. Um also sicherzustellen, dass für ein gegebenes Problem adaptive Verfahren hilfreich sein können, muss die Besov-Regularität der exakten Lösung untersucht werden.
Die Forschungsschwerpunkte sind derzeit:
Dieses Projekt wird in Kooperation mit Felix Lindner, René L. Schilling, Winfried Sickel und Lars Diening durchgeführt.
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- Shearlet--Theorie und Anwendungen
Unter Shearlets versteht man neue, affine Darstellungssysteme, die speziell zur Richtungsdetektion geeignet sind. Gegenüber anderen Darstellungssystemen wie Curvelets, Contourlets oder Ridgelets haben Shearlets den großen Vorteil, dass sie mit einer quadratintegrablen Darstellung einer speziellen lokalkompakten topologischen Gruppe, der vollen Shearlet-Gruppe, assoziiert sind. Dies ermöglicht die Anwendung schlagkräftiger Hilfsmittel der Harmonischen Analysis. (Mehr Informationen).
Aktuelle Forschungsvorhaben sind:
- Konstruktion und Analyse von Shearlet-Coorbit-Räumen
- Analyse der Shearlet-Gruppen und ihrer Beziehungen zu anderen Gruppen
- Shearlet-Transformation auf Mannigfaltigkeiten
- Anwendungen der Shearlet-Transformation in der Bildanalyse
Dieses Projekt wird gemeinsam mit Gabriele Steidl, Gerd Teschke, Ernesto de Vito und Filippo de Mari bearbeitet.
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- Coorbit-Theorie
Die Coorbit-Theorie wurde durch H. Feichtinger und K. Gröchenig begründet. Sie ermöglicht es, aufbauend auf quadratintegrablen Gruppendarstellungen neue Glattheitsräume zu konstruieren, wobei die Glattheit über den Abfall der assoziierten Voice Transform gemessen wird. Außerdem ist es im Rahmen der Coorbit-Theorie möglich, auf natürliche Weise atomare Zerlegungen und Banach-Frames für die neuen Glattheitsräume zu gewinnen. Zwei wichtige Spezialfälle sind die (homogenen) Besov-Räume und Modulationsräume, die als Coorbit-Räume bezüglich Darstellungen der affinen Gruppen bzw. der Weyl-Heisenberg-Gruppen interpretiert werden können.
Im Mittelpunkt unserer Forschung stehen zur Zeit folgende Fragestellungen:
- Beziehungen zur Shearlet-Theorie, inhomogene Shearlet Coorbit Räume
- Verallgemeinerung der Coorbit-Theorie auf nichtintegrable Darstellungen
- Coorbit-Räume und Frames auf Mannigfaltigkeiten.
Dieses Projekt wird gemeinsam mit Gabriele Steidl, Gerd Teschke, Ernesto de Vito und Filippo de Mari bearbeitet.
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- Mathematische Modellierung zellbiologischer Systeme
Im Rahmen des LOEWE-Zentrums für Synthetische Mikrobiologie (Synmikro) untersuchen und modellieren wir zellbiologische Systeme. Im Mittelpunkt steht zur Zeit die Modellierung von Proteinlokalisationen und -oszillationen mittels Reaktions-Diffusionsgleichungen.
Folgende Fragestellungen werden untersucht:
- Modellierung von Proteinoszillationen in Myxococcus xanthus (Projektbeschreibung)
- Subdiffusionsphänomene in Zellen
- Modellierung der Mechanismen zur Ausbildung und Lokalierung von Flagellen
Dieses Projekt wird gemeinsam mit Gert Bange, Lotte Sogaard-Andersen, Peter Lenz und Peter Graumann durchgeführt.
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- Konstruktion von Wavelets
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Ziel dieses Projektes ist die Konstruktion von glatten und lokalisierten interpolierenden Wavelets und Multiwavelets und ihre Anpassung an Intervalle und allgemeinere Gebiete.
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