Hauptinhalt

Differentialgeometrie I
(engl. Differential Geometry I)

Niveaustufe, Verpflichtungsgrad Vertiefungsmodul, Wahlpflichtmodul
Lehr- und Lernformen,
Arbeitsaufwand		 Vorlesung (4 SWS), Übung (2 SWS),
270 Stunden (90 Std. Präsenzzeit, 180 Std. Selbststudium)
Leistungspunkte,
Voraussetzungen zum Erwerb		 9 LP
Studienleistung(en): Erreichen von mindestens 50 Prozent der Punkte aus den wöchentlich zu bearbeitenden Übungsaufgaben.
Prüfungsleistung: Klausur oder mündliche Prüfung (Einzelprüfung)
Sprache,
Benotung		 Englisch,
Die Benotung erfolgt mit 0 bis 15 Punkten gemäß der Prüfungsordnung für den Studiengang M.Sc. Mathematik.
Dauer des Moduls,
Häufigkeit		 Ein Semester,
Regelmäßig im Wechsel mit anderen Aufbaumodulen im Gebiet Analysis/Geometrie
Modulverantwortliche(r) Prof. Dr. Ilka Agricola, Prof. Dr. Oliver Goertsches, Prof. Dr. Pablo Ramacher

Inhalt

  • Flächen im dreidimensionalen Raum, Strukturgleichungen, erste und zweite Fundamentalform, Gauss'sche und mittlere Krümmung,
  • Beispiele von besonderen Flächen (Drehflächen, Regelflächen, Minimalflächen...), Fundamentalsatz der Flächentheorie
  • Grundlagen der Riemann'schen Geometrie: Riemann'sche Mannigfaltigkeiten, Zusammenhänge und kovariante Ableitungen, Krümmungstensor und abgeleitete Krümmungsgrößen, Einstein-Räume, Räume konstanter Schnittkrümmung, geodätische Kurven, geodätische Koordinaten, Exponentialabbildung, Vollständigkeitseigenschaften (innere Metrik, Satz von Hopf-Rinow), Sätze der globalen Riemann'schen Geometrie (Gauss-Bonnet, Bonnet-Myers, Synge)
  • physikalische Anwendungen der Differentialgeometrie, etwa in spezieller oder allgemeiner Relativitätstheorie

Qualifikationsziele

Die Studierenden

  • besitzen ein Verständnis gekrümmter Räume und haben ihre mathematische Intuition in geometrischem Zusammenhang geschärft,
  • können mathematische Eigenschaften koordinatenfrei erfassen und beschreiben,
  • können geometrische Extremaleigenschaften (etwa bei Krümmung oder Kurvenlänge) mit physikalischen Variationsprinzipien in Verbindung setzen,
  • haben mathematische Arbeitsweisen (Entwickeln von mathematischer Intuition und deren formaler Begründung, Abstraktion, Beweisführung) vertieft,
  • haben in den Übungen ihre mündliche Kommunikationsfähigkeit durch Einüben der freien Rede vor einem Publikum und bei der Diskussion verbessert.

Voraussetzungen

Keine. Empfohlen werden die Kompetenzen, die in den Basismodulen sowie im Aufbaumodul Funktionentheorie und Vektoranalysis vermittelt werden.


Verwendbarkeit

Importmodul aus dem M.Sc. Mathematik.

Es kann im FB12 verwendet werden im Studiengang bzw. in den Studiengängen

  • B.Sc. Mathematik
  • M.Sc. Informatik
  • M.Sc. Mathematik
  • LAaG Mathematik

Im Studiengang B.Sc. Mathematik kann das Modul im Studienbereich Mathematik Wahlpflichtmodule absolviert werden.


Literatur

  • Manfredo Perdigão do Carmo, Riemannian geometry, Birkhäuser.
  • Detlef Gromoll, Wilhelm Klingenberg, Wolfgang Meyer, Riemannsche Geometrie im Großen, Springer.
  • Barret O'Neill, Semi-Riemannian geometry, Academic Press.
  • Michael Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry. Berkeley, California: Publish Perish, Inc.



Bitte beachten Sie:

Diese Seite beschreibt ein Modul gemäß dem im Wintersemester 2023/24 aktuellsten gültigen Modulhandbuch. Die meisten für ein Modul gültigen Regeln werden nicht durch die Prüfungsordnung festgelegt, und können daher von Semester zu Semester aktualisiert werden. Folgende Versionen liegen im Online-Modulhandbuch vor:

Das Modulhandbuch enthält alle Module, unabhängig vom aktuellen Veranstaltungsangebot, vergleichen Sie dazu bitte das aktuelle Vorlesungsverzeichnis in Marvin.

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