Reelle Interpolationstheorie (WiSe 2018/19)
Dr. M. Hansen
Termine
Die Veranstaltung findet während der Vorlesungszeit im Wintersemester 2018/19 zweimal wöchentlich in Form von Vorlesungen (4 SWS) statt:
- Mo 12.15-14 Uhr im Raum 03A20 (HS I A3 Mehrzweckgebäude Lahnberge)
- Mi 12.15-14 Uhr im Raum 03A20 (HS I A3 Mehrzweckgebäude Lahnberge)
Inhalt
Die Interpolationstheorie für Banachräume ist ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Teilgebieten der Mathematik, wie etwa der Approximationstheorie und Numerischen Analysis, Fourieranalysis, Theorie der Funktionenräume
sowie Partielle Differentialgleichungen (insbesondere für Operatorhalbgruppen), um nur einige zu nennen. In diesem Kurs sollen, ausgehend von den klassischen Interpolationssätzen von Riesz-Thorin und Marcinkiewicz,
zunächst die Grundlagen der Interpolationstheorie herausgearbeitet werden.
Der Grundgedanke lässt sich dabei wie folgt beschreiben: Falls eine lineare Abbildung beschränkt ist von A1 nach B1 sowie von A2 nach B2, so überträgt sich dies auf geeignete Räume "zwischen" A1 und A2 bzw. B1 und B2.
Der Fokus liegt dabei auf der Reellen Methode der Interpolation für Banach- und Quasi-Banachräume, basierend auf dem K-Funktional von Peetre, mit Anwendungen auf Folgenräume vom lp-Typ sowie Lp-Räume.
Inhalte:
- Interpolationssätze von Riesz-Thorin und Marcinkiewicz mit Anwendungen (Young'sche Faltungsungleichung, Hardy-Littlewood Maximalungleichung)
- Grundbegriffe der Interpolationstheorie
- Reelle Interpolationsmethoden nach Petree: K- und J-Methode
- Eigenschaften, Äquivalenz- und Reiterationssatz
- Anwendung auf Folgenräume vom lp-Typ
- Anwendungen in der Numerik:
- Funktionenräume vom Lp-, Sobolev- und Besov-Typ
- Approximationsräume
- (ggf. Grundzüge der Komplexen Methode mit Anwendungen)
Die Vorlesung wendet sich an Graduierte und Studierende höherer Semester (Mathematik/Wirtschaftsmathematik Master, ggf. Bachelor im 6. FS) und setzt Kenntnisse der Analysis im Umfang der Grundvorlesungen voraus. Zusätzliche Grundkenntnisse der Funktionalanalysis und der Maßtheorie sind wünschenswert.
Prüfung
- Voraussetzung für die Vergabe von Leistungspunkten (6 ECTS) ist eine mündliche Prüfung.
Literatur
Begleitend zur Vorlesung wird ein Skriptveröffentlicht werden.
Der Kern der Vorlesung orientiert sich dabei an einem Skript, welches Prof. Dr. Dorothee D. Haroske (FSU Jena) im WiSe 2008/09 erstellt hat.
Zur weiteren Vertiefung kann folgende (Standard)Literatur herangezogen werden (eine vollständige Liste findet sich im Skript):
- Bergh, J., Löfström, J.: Interpolation Spaces - An Introduction. Springer, Berlin, 1976.
- Triebel, H.: Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. North-Holland, Amsterdam, 1978.
- Bennett, C., Sharpley, R.: Interpolation of operators. Academic Press, Boston, 1988.
Zuletzt aktualisiert: 04.10.2018 |
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