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Notation

Typ Schriftart Beispiele
Variablen (Skalare) kursiv $a, b, x, y$
Funktionen aufrecht $\mathrm{f}, \mathrm{g}(x), \mathrm{max}(x)$
Vektoren fett, Elemente zeilenweise $\mathbf{a}, \mathbf{b}= \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = (x, y)^\top,$ $\mathbf{B}=(x, y, z)^\top$
Matrizen Schreibmaschine $\mathtt{A}, \mathtt{B}= \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$
Mengen kalligrafisch $\mathcal{A}, B=\{a, b\}, b \in \mathcal{B}$
Zahlenbereiche, Koordinatenräume doppelt gestrichen $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3$

Inhalt

  • Gattersymbole
  • Realisierung einer booleschen Funktion durch Logikgatter
  • Praxisbeispiel: Aufbau einer Logikschaltung mit ICs

Gattersymbole nach DIN 40900

BenennungBoolescher AusdruckGattersymbol
Negation, NOT$y = \lnot a = \overline{a}$ not
Konjunktion, AND $y = a \land b$and
Disjunktion, OR $y = a \lor b$or
Äquivalenz $y = a \leftrightarrow b$noxor
Antivalenz, XOR $y = a \nleftrightarrow b$xor
Sheffer-Funktion, NAND $y = a \mathbin{\bar{\land}} b$nand
Peirce-Funktion, NOR $y = a \mathbin{\bar{\lor}} b$nor

Gattersymbole, US ANSI 91

BenennungBoolescher AusdruckGattersymbol
negation, NOT$y = \overline{a}$not_us
conjunction, AND $y = a \cdot b = ab$and_us
disjunction, OR $y = a + b$or_us
equivalence, (E)XNOR $y = a \equiv b = \overline{a \oplus b}$noxor_us
exclusive disjunction, (E)XOR $y = a \oplus b$xor_us
NAND $y = \overline{a \cdot b} = \overline{ab}$nand_us
NOR $y = \overline{a + b}$nor_us

Gattersymbole

  • In dieser Vorlesung werden durchgängig die DIN-Symbole verwendet
  • Die neuere Empfehlung der International Electrotechnical Commission in IEC 60617-12 entspricht im Wesentlichen den rechteckigen DIN-Symbolen
  • Der US-Standard ist in der Praxis (besonders in der englischsprachigen Literatur) jedoch sehr häufig zu finden

Darstellung von Schaltnetzen mit Gattern

wire_connections
  • Um aus mehreren Gattern Schaltnetze aufzubauen, können Ein- und Ausgänge von Gattern mit durchgezogenen rechtwinklig verlaufenden Leitungen verbunden werden
  • Bei einer rechtwinkligen Verzweigung wird davon ausgegangen, dass eine Verbindung zwischen den Leitungen besteht
  • Dies kann zusätzlich mit einem ausgefüllten Punkt verdeutlicht werden
  • Um verbundene Kreuzungen zu kennzeichnen, ist der ausgefüllte Punkt unbedingt erforderlich, ansonsten werden die Leitungen als nicht verbunden interpretiert.
  • Dass zwei sich kreuzende Leitungen nicht verbunden sind, kann zusätzlich durch einen Halbkreis verdeutlicht werden

Kompaktere Darstellung

  • Sowohl Ein- als auch Ausgänge lassen sich invertieren, indem sie mit dem (nicht ausgefüllten) Negationskreis versehen werden.
  • Beispiel: $y = \lnot(\lnot a \land b)$
short_not_sign
  • AND- und OR-Gatter können auch mehr als zwei Eingänge haben
  • Ein OR-Gatter mit $n$ Eingängen realisiert den Ausdruck $y = x_1 \lor x_2 \lor \dots \lor x_n$
  • Ein AND-Gatter mit $n$ Eingängen realisiert den Ausdruck $y = x_1 \land x_2 \land \dots \land x_n$
  • Beispiel: $y = (a \lor b \lor c) \land \lnot d \land \lnot e $
more_than_two

Praxisbeispiel: Aufbau einer Logikschaltung mit ICs

cd4572ub_func
CD4572UB
  • Im folgenden wollen wir eine reale Schaltung aufbauen, die einige Logikgatter enthält
  • Dazu verwenden wir den CMOS IC CD4572UB von Texas Instruments, der 4 Inverter, 1 NAND- und 1 NOR-Gatter bereitstellt
    cd4572UBE

Praxisbeispiel: Aufbau einer Logikschaltung mit ICs

led_circuit
  • Um die Zustände der Ein- und Ausgänge zu visualisieren, werden wir LEDs ("Light-Emitting Diodes") verwenden
  • Bei bedrahteten LEDs ist die Kathode (−) das kürzere Bein und das längere Bein die Anode (+)
  • Eine LED muss immer mit einem Vorwiderstand betrieben werden, der den Strom durch die LED einstellt

Das ohmsche Gesetz

  • Um die Größe des Widerstands zu berechnen, brauchen wir das ohmsche Gesetz
  • Das ohmsche Gesetz macht eine Aussage über Spannung und Stromstärke an einem Widerstand:
    • Spannung $U$: Kraft auf Ladungsträger, Einheit Volt $[\mathrm{V}]$
    • Stromstärke $I$: durchfließende Ladungsträger pro Zeiteinheit, Einheit Ampere $[\mathrm{A}]$
  • Das ohmsche Gesetz besagt, dass die Stromstärke $I$, die durch einen Widerstand $R$ fließt, proportional zu der am Widerstand abfallenden Spannung $U$ ist
    $U = R \cdot I \Leftrightarrow I = \frac{U}{R} \Leftrightarrow R = \frac{U}{I}$
    • Widerstand $R$: Proportionalitätsfaktor zwischen Spannung und Stromstärke, Einheit Ohm $[\Omega]$
resistor_circuit
  • Wie groß ist die Stromstärke $I$ in diesem Stromkreis?
  • Antwort: $I = \frac{U}{R} = \frac{4,5 \,\mathrm{V}}{200\, \Omega} = 0,0225\,\mathrm{A} = 22,5\,\mathrm{mA}$

Das ohmsche Gesetz

voltage_divider
  • Spannungsteiler
    • Im oberen Stromkreis fließt überall der gleiche Strom $I_0$
    • Damit gilt laut ohmschen Gesetz:
      $I_0 = \frac{U_1}{R_1}$ und $I_0=\frac{U_2}{R_2}$ und $I_0= \frac{U_0}{R_1+R_2}$
    • Durch Umformung ergibt sich für das Verhältnis der Spannungen $U_1$ und $U_2$:
      $\frac{U_1}{R_1} = \frac{U_2}{R_2} \Leftrightarrow \frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2}$
  • Stromteiler
    • Im unteren Stromkreis fällt an beiden Widerständen die gleich Spannung $U_0$ ab
    • Damit ergibt sich für das Verhältnis der Stromstärken $I_1$ und $I_2$:
      $U_0 = R_1 \cdot I_1 = R_2 \cdot I_2 \Leftrightarrow \frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1}$

Berechnen des Vorwiderstands einer LED

led_current
  • Dem Datenblatt der von uns eingesetzten LED kann entnommen werden, dass sie mit einem Strom von $I_0 = 20\,\mathrm{mA}$ betrieben werden soll. Laut Datenblatt fällt in diesem Fall $U_2 = 2,25\,\mathrm{V}$ über der LED ab.
  • Bei einer Spannungsversorgung mit $U_0=4,5\,\mathrm{V}$ ergibt sich somit für den Vorwiderstand $R_1$
    $\begin{align} I_0 &= \frac{U_1}{R_1} = \frac{U_0 - U_2}{R_1} \\ \Leftrightarrow R_1 &= \frac{U_0 - U_2}{I_0} \\ &= \frac{4,5\,\mathrm{V} - 2,25\,\mathrm{V}}{20\,\mathrm{mA}} = 112,5\,\Omega \end{align} $

Praxisbeispiel: Aufbau einer Logikschaltung mit ICs

led_circuit
  • Die Schaltung soll mit einer Steckplatine realisiert werden
  • In den Spalten zur Spannungsversorgung ("+" bzw "-") sind die Steckplätze vertikal miteinander verbunden
  • Ansonsten sind die Steckplätze horizontal miteinander verbunden, jeweils ("a" bis "e") und ("f" bis "j")
  • Als Spannungsversorgung kommt eine 4,5 Volt Flachbatterie zum Einsatz

Praxisbeispiel: NOT-Gatter

  • Wenn der Taster offen ist, brennt die gelbe LED und die rote ist aus
  • Wenn der Taster geschlossen ist, brennt die rote LED und die gelbe ist aus
  • Beispielanwendung Alarmanlage: Taster ermittelt, ob Tür offen oder geschlossen ist; rote LED zeigt, Alarm ist eingeschaltet; gelbe LED alarmiert Wachdienst
led_circuit

Praxisbeispiel: NAND-Gatter

  • Die roten LEDs zeigen den Status der beiden Taster an
  • Gelbe LED brennt nur dann nicht, wenn beide Taster geschlossen sind
  • Beispielanwendung: Alarmanlage für zwei Fenster
nand_circuit

Praxisbeispiel: Aufbau einer Logikschaltung mit ICs

  • Dieses Video zeigt (im Schnelldurchlauf) den Aufbau der NOT-Gatter- und NAND-Gatter-Schaltung aus den vorangegangen Folien auf eine Steckplatine

Praxisbeispiel: Aufbau einer Logikschaltung mit ICs

  • Bei den gezeigten Schaltungen wurden die Eingänge des Logik-ICs jeweils mit einem so genannten Pull-Down-Widerstand von $10\,\mathrm{k\Omega}$ versehen
  • Wenn die Schalter geöffnet sind, würde ansonsten der Eingang auf undefiniertem Potenzial liegen und das Verhalten am Ausgang wäre zufällig
  • Bei geöffnetem Schalter zieht der Pull-Down-Widerstand den Eingang gegen Masse
  • Bei geschlossenem Schalter liegt die Versorgungsspannung am Eingang an und über den Pull-Down-Widerstand fließt ein kleiner Verluststrom $I_{\tiny \text{Verlust}} = \frac{4,5 \mathrm{V}}{10\,\mathrm{k\Omega}} = 0,45\,\mathrm{mA}$

Praxisbeispiel: Aufbau einer Logikschaltung mit ICs

  • Bei den gezeigten Schaltungen wurden die Eingänge des Logik-ICs jeweils mit einem so genannten Pull-Down-Widerstand von $10\,\mathrm{k\Omega}$ versehen
  • Wenn die Schalter geöffnet sind, würde ansonsten der Eingang auf undefiniertem Potenzial liegen und das Verhalten am Ausgang wäre zufällig
  • Bei geöffnetem Schalter zieht der Pull-Down-Widerstand den Eingang gegen Masse
  • Bei geschlossenem Schalter liegt die Versorgungsspannung am Eingang an und über den Pull-Down-Widerstand fließt ein kleiner Verluststrom $I_{\tiny \text{Verlust}} = \frac{4,5 \mathrm{V}}{10\,\mathrm{k\Omega}} = 0,45\,\mathrm{mA}$

Realisierung mit n-Kanal-Feldeffekt-Transistoren

  • Inverter, NAND- und NOR-Gatter, wie sie im IC CD4572UB verwendet werden, können z.B. durch n-Kanal-Feldeffekt-Transistoren realisiert werden, die wir im Kapitel 1.2 "Historisches" kennengelernt haben
fet_inv_nand_nor

NOT

$x$$z$
01
10

NAND

$x$$y$$z$
001
011
101
110

NOR

$x$$y$$z$
001
010
100
110

Realisierung mit CMOS-Technik

  • Durch den Widerstand entsteht jedoch eine relativ große Verlustleistung, daher wird bei der heutzutage vorherschenden CMOS-Technik mit p- und n-Kanal-Feldeffekt-Transistoren gearbeitet (auch der CD4572UB ist ein CMOS IC)
  • Der n-Kanal-FET schaltet bei der logischen 1 durch, während der p-Kanal-FET bei der logischen 0 durchschaltet
cmos_inv_nand_nor

NOT

NAND

NOR

Gibt es Fragen?

questions

Anregungen oder Verbesserungsvorschläge können auch gerne per E-mail an mich gesendet werden: Kontakt


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