Technische Informatik
Reguläre Logikschaltungen
Thorsten Thormählen
30. November 2021
Teil 7, Kapitel 1
Technische Informatik
- Ein Multiplexer (auch "Mux") schaltet von vielen Eingängen auf einen Ausgang
- Ein Demultiplexer (auch "Demux") schaltet von einem Eingang auf viele Ausgänge
- Für einen 2-zu-1 Multiplexer (auch "2:1 Mux") gilt:
- Wenn das Steuersignal $s=1$, dann ist $y = b$, ansonsten $y = a$
- Diese entspricht einem if-then-else:
if(s) y = b; else y = a;
- Ein 2-zu-1 Multiplexer kann leicht aus mehreren Logikgattern aufgebaut werden:
- Da er häufig Bestandteil von digitalen Schaltungen ist, bekommt der Multiplexer ein eigenes Symbol
- 2-zu-1 Multiplexer (2:1 Mux):
$y = \overline{s}_0 i_0 \lor s_0 i_1$
- 4-zu-1 Multiplexer (4:1 Mux):
$y = \overline{s}_1\overline{s}_0 i_0 \lor \overline{s}_1s_0 i_1 \lor s_1\overline{s}_0 i_2 \lor s_1 s_0 i_3$
- 8-zu-1 Multiplexer (8:1 Mux):
$\begin{align}y =& \overline{s}_2\overline{s}_1\overline{s}_0 i_0 \lor \overline{s}_2\overline{s}_1s_0 i_1 \lor \overline{s}_2s_1\overline{s}_0 i_2 \lor \overline{s}_2s_1 s_0 i_3 \\ &s_2\overline{s}_1\overline{s}_0 i_4 \lor s_2\overline{s}_1s_0 i_5 \lor s_2 s_1\overline{s}_0 i_6 \lor s_2 s_1 s_0 i_7 \end{align}$
- $n$-zu-1 Multiplexer ($n$:1 Mux):
$y = \bigvee\limits_{j=0}^{n-1} m_j i_j$wobei $m_j$ den Minterm der $k$ Steuersignale $s_{k-1}, \dots, s_1, s_0$ bezeichnet und gilt $n = 2^{k}$
- Ein 4:1 Mux als zweistufige Logik:
- Ein 8:1 Mux als zweistufige Logik:
- Große Multiplexer können durch Kaskadierung von kleinen Multiplexern aufgebaut werden
- Was macht mehr Sinn? Kaskadierung oder zweistufige Logik?
- $n$-zu-1 Multiplexer können jede Funktion von $k=log_2 n$ Variablen implementieren
- Die Variablen $x_{k-1},\dots,x_0$ werden als Steuervariablen $s_{k-1},\dots,s_0$ verwendet
- Dateneingänge $i_{n-1},\dots,i_0$ werden auf $0$ bzw. $1$ gelegt
- Beispiel:
$\begin{align}y =& m_0 \lor m_2 \lor m_6 \lor m_7 \\ & \overline{x}_2\overline{x}_1\overline{x}_0 \lor \overline{x}_2x_1\overline{x}_0 \lor x_2x_1\overline{x}_0 \lor x_2x_1x_0 \end{align}$Wahrheitstafel:
x2 x1 x0 y 0: 0 0 0 1 1: 0 0 1 0 2: 0 1 0 1 3: 0 1 1 0 4: 1 0 0 0 5: 1 0 1 0 6: 1 1 0 1 7: 1 1 1 1
- Alternative: $n$-zu-1 Multiplexer können jede Funktion von $k=(log_2 n) + 1$ Variablen implementieren
- Die Variablen $x_{k-1},\dots,x_1$ werden als Steuervariablen $s_{k-2},\dots,s_0$ verwendet
- Dateneingänge werden auf $x_0$, $\overline{x}_0$, $0$ oder $1$ gelegt
- Beispiel:
Wahrheitstafel:
x2 x1 x0 y 0: 0 0 0 1 x̄0 1: 0 0 1 0 2: 0 1 0 1 x̄0 3: 0 1 1 0 4: 1 0 0 0 0 5: 1 0 1 0 6: 1 1 0 1 1 7: 1 1 1 1
- Im Folgenden soll mit Hilfe des CMOS IC CD74HCT253 eine reale Multiplexer-Schaltung aufbaut werden
- Der 74HCT253 enthält zwei 4-zu-1 Multiplexer
- Einer der zwei 4-zu-1 Multiplexer wird derart beschaltet, dass ein XOR realisiert wird
$s_1$ $s_0$ $y_1$ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
- Dieses Photo zeigt den Aufbau der Schaltung aus der vorangegangenen Folie auf eine Steckplatine
- Das inverse Element zum Multiplexer ist der Demultiplexer
- 1 Eingang, $k$ Steuereingänge, $n=2^k$ Ausgänge $r_{n-1},\dots,r_0$
- Der Eingang $g$ wird oft "Enable" genannt
- Abhängig von den Steuereingängen wird der Eingang auf einen der Ausgänge geschaltet, die anderen Ausgänge sind 0.
- 1-zu-2 Demultiplexer (1:2 Demux):
$\begin{align} r_0 &= g \,\overline{s} \\ r_1 & = g \,s \end{align}$
- 1-zu-4 Demultiplexer (1:4 Demux):
$\begin{align} r_0 &= g \,\overline{s}_1 \overline{s}_0 \\ r_1 &= g \,\overline{s}_1 s_0 \\ r_2 &= g \,s_1 \overline{s}_0 \\ r_3 &= g \, s_1 s_0 \end{align} $
- 1-zu-$n$ Demultiplexer (1:$n$ Demux):
$r_j = g \, m_j \quad \forall \, r_{n-1}, \dots,r_1,r_0$wobei $m_j$ den Minterm der $k$ Steuersignale $s_{k-1}, \dots, s_1, s_0$ bezeichnet und gilt $n = 2^{k}$
- Ein 1:2 Demux mit Gattern:
- Ein 1:4 Demux mit Gattern:
- Große Demultiplexer können durch Kaskadierung von kleinen Demultiplexern aufgebaut werden
- 1-zu-$n$ Demultiplexer können jede Funktion von $k=log_2 n$ Variablen implementieren
- Die Variablen $x_{k-1},\dots,x_0$ werden als Steuervariablen $s_{k-1},\dots,s_0$ verwendet
- Eingang wird auf 1 gelegt
- An den Ausgängen liegen die Minterme der Steuervariablen an und können durch ein ODER-Gatter verknüpft werden, um die Funktion zu implementieren
- Beispiel: $y = m_0 \lor m_2 \lor m_6 \lor m_7$
Wahrheitstafel:
x2 x1 x0 y 0: 0 0 0 1 1: 0 0 1 0 2: 0 1 0 1 3: 0 1 1 0 4: 1 0 0 0 5: 1 0 1 0 6: 1 1 0 1 7: 1 1 1 1
- Eine programmierbare logische Schaltung (engl.: Programmable Logic Device, PLD) ist ein vorgefertigter IC mit vielen AND- und OR-Gattern
- Die Eingangsvariablen werden auf ein AND-Array geführt das Monome erzeugt
- Die Monome werden durch ein OR-Array zu den Ausgangsfunktionen verknüpft
- Vorteil: PLD können in großer Stückzahl gefertigt werden und erst später durch das Auftrennen von Verbindungen ihre Funktionalität bekommen ("programmiert werden")
- PLA (Programmable Logic Array): AND-Array veränderbar, OR-Array veränderbar
- PAL (Programmable Array Logic): AND-Array veränderbar, OR-Array fest
- PROM (Programmable Read-Only Memory): AND-Array fest, OR-Array veränderbar
- Nicht benötigte Verbindungen werden aufgetrennt.
- Realisierte Monome können für verschiedene Ausgänge $y_i$ wieder verwendet werden
- Beispiel:
$\begin{align}y_0 &= x_1\overline{x}_0 \lor x_2\\ y_1 &= \overline{x}_2 x_1 \lor x_2 x_0 \\ y_2 &= x_1 \overline{x}_0\lor x_2 x_0 \\ y_3 &= x_2 \lor \overline{x}_2 x_1\overline{x}_0 \end{align}$
- Beim PAL ist nur das AND-Array veränderbar
- Die ODER-Verknüpfungen sind fest verdrahtet
- Die UND-Verknüpfungen sind fest verdrahtet, alle Minterme realisiert
- Beim Anlegen einer Adresse an die Eingänge liefert das PROM den Speicherinhalt für diese Adresse an den Ausgängen
- Im Unterschied zum PLA hat das PROM ein fest verdrahtetes AND-Array, das alle möglichen Kombinationen der Eingänge (alle Minterme) realisiert
- Bei $k$ Adressleitungen entstehen somit $2^k$ Minterme (auch "Wortleitungen" genannt)
- Bei $m$ Ausgängen liegen im ROM-Speicher also $2^k$ Worte zu $m$ Bits
Anregungen oder Verbesserungsvorschläge können auch gerne per E-mail an mich gesendet werden: Kontakt