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Notation

Typ Schriftart Beispiele
Variablen (Skalare) kursiv $a, b, x, y$
Funktionen aufrecht $\mathrm{f}, \mathrm{g}(x), \mathrm{max}(x)$
Vektoren fett, Elemente zeilenweise $\mathbf{a}, \mathbf{b}= \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = (x, y)^\top,$ $\mathbf{B}=(x, y, z)^\top$
Matrizen Schreibmaschine $\mathtt{A}, \mathtt{B}= \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$
Mengen kalligrafisch $\mathcal{A}, B=\{a, b\}, b \in \mathcal{B}$
Zahlenbereiche, Koordinatenräume doppelt gestrichen $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3$

Inhalt

  • Automaten
    • Endliche Automaten
    • Akzeptoren und Transduktoren
    • Mealy- und Moore-Automaten
    • Beispiele

Schaltnetze und Schaltwerke

feedback
  • Ohne Rückkopplung (Schaltnetz)
    • Werte an den Ausgängen sind nur abhängig von den Eingängen
    • Solche Schaltungen verhalten sich immer gleich (sind zustandslos) und sind durch ihre Schaltfunktion eindeutig beschrieben
    • Es ist jedoch nicht möglich, etwas zu speichern
  • Mit Rückkopplung (Schaltwerk)
    • Werte an den Ausgängen sind abhängig von den Eingängen und den vorherigen Ausgangswerten
    • Das Zeitverhalten muss genau betrachtet werden
    • Die vorherigen Ausgangswerte können als Zustand der Gatter interpretiert werden. Abhängig vom Zustand verhalten sich die Gatter anders (zustandsabhängige Schaltfunktion)
    • Es wird möglich, Zustände zu speichern

Schaltwerke

automata_state_storage
  • Im vorangegangenen Kapitel wurde gezeigt, dass durch Rückkopplung Speicherelemente (Flip-Flops, Register) realisiert werden können, die einen Zustand speichern
  • Demnach kann ein Schaltwerk auch als eine Kombination aus einem Schaltnetz und einem Zustandsspeicher dargestellt werden
  • Die Ausgabe eines Schaltwerks kann abhängig vom aktuellen Zustand sein
  • Abhängig von den Eingangswerten kann sich der Zustand eines Schaltwerks ändern
  • Zur Beschreibung der zustandsabhängigen Schaltfunktion können endliche Automaten  verwendet werden

Endliche Automaten

  • Ein endlicher Automat  (engl. Finite State Machine, FSM) ist definiert durch
    • eine endliche Menge $\mathcal{A}$ von Eingabesymbolen $a_i \in \mathcal{A}$ (Alphabet)
    • eine endliche Menge $\mathcal{S}$ von Zuständen $s_i \in \mathcal{S}$
    • einen Anfangszustand $s_0 \in \mathcal{S}$
    • eine Zustandsübergangsfunktion $\mathrm{\delta}: \mathcal{S} \times \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{S}$
  • Des Weiteren kann er umfassen
    • eine endliche Menge $\mathcal{B}$ von Ausgabesymbolen $b_i \in \mathcal{B}$
    • eine Ausgabefunktion $\mathrm{\lambda}: \mathcal{S} \times \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$
  • Bei deterministischen Automaten erfolgen die Zustandsübergänge deterministisch (nicht zufällig)
  • Endliche Automaten können durch Zustandsübergangsgraphen dargestellt werden

Zustandsübergangsgraphen

  • In einem Zustandsübergangsgraphen wird jeder Zustand $s_i \in \mathcal{S}$ als ein Kreis dargestellt
  • Die möglichen Zustandsübergänge werden mit Pfeilen gekennzeichnet
  • Jeder Pfeil wird mit dem zugehörigen Eingabesymbol $a_m \in \mathcal{A}$ beschriftet, für das dieser Zustandsübergang auftritt
  • Außerdem (abgetrennt durch einen "/") kann jeweils das Ausgabesymbol $b_n \in \mathcal{B}$ angegeben werden
state_machine_graphs

Zustandsübergangsgraphen

  • Beispiel: Ampelschaltung
    • Es soll eine Schaltung für eine Fußgängerampelanlage erstellt werden. Es wird dabei die Ampel, die den Autoverkehr regelt, betrachtet (nicht die Fußgängerampel)
    • Die Ampel reagiert auf das Drücken eines Ampelknopfs durch einen Fußgänger:
      $a_0$ = 0 bedeutet der Ampelknopf wurde nicht gedrückt
      $a_1$ = 1 bedeutet der Ampelknopf wurde gedrückt
    • Im Anfangszustand $s_0 \in \mathcal{S}$ ist die Ampel grün
    • Wurde der Ampelknopf gedrückt, soll die Ampel zunächst auf gelb und dann auf rot schalten
    • Es wird weiterhin davon ausgegangen, dass das durch den Ampelknopf gesteuerte Eingabesymbol automatisch, nachdem der Fußgänger genug Zeit hatte die Straße zu überqueren, von $a_1$ nach $a_0$ wechselt
    • Die Ampel soll dann zunächst gelb-rot zeigen und schließlich wieder grün

Zustandsübergangsgraphen

  • Beispiel: Ampelschaltung
traffic_light
  • Menge der Eingabesymbole $\mathcal{A}=\{a_0, a_1\}$ binär kodiert mit $\{0, 1\}$
  • Menge der Zustände $\mathcal{S}=\{s_0, s_1, s_2, s_3\}$
  • Menge der Ausgabesymbole $\mathcal{B}= \{b_0, b_1, b_2, b_3\}$ binär kodiert mit $y_2 y_1 y_0$ zu $\{001, 010, 110, 100\}$
  • Es gibt $|\mathcal{S}| \cdot |\mathcal{A}|= 4 \cdot 2 = 8$ mögliche Zustandsübergänge

Transduktoren und Akzeptoren

  • Transduktoren
    • Enthält ein Automat eine Ausgabefunktion $\mathrm{\lambda}$ wird er als Transduktor bezeichnet
    • Transduktoren sind Automaten, die aus Sequenzen von (binären) Eingabesymbolen, Sequenzen von (binären) Ausgabesymbolen erzeugen
    • Diese "übersetzen" die Eingabe in eine Ausgabe
  • Akzeptoren
    • Akzeptoren sind Automaten, die bestimmt Sequenzen von Eingabewörtern akzeptieren oder verwerfen
    • Dazu wird eine Teilmenge $\mathcal{F} \subset \mathcal{S}$ der möglichen Zustände zu akzeptierenden Zuständen erklärt, so genannte "Finalzustände"
    • Endet ein Automat nach Abarbeiten einer Sequenz von Eingabesymbolen in einem Finalzustand, wird die Eingabe akzeptiert, sonst wird sie verworfen
    • Akzeptoren erzeugen somit keine Sequenz von Ausgabesymbolen

Akzeptoren

  • Finalzustände werden im Zustandsübergangsgraphen als doppelt gestrichene Kreise dargestellt
  • Der Anfangszustand wird mit einem auf den Zustand zeigendem Dreieck gekennzeichnet
  • Beispiel für einen Akzeptor:
    • Ausgehend vom Anfangszustand $s_0$ würde der dargestellte Automat alle Eingabesequenzen akzeptieren, die eine ungerade Anzahl an Nullen enthalten
      acceptor
    • Menge der Eingabewörter $\mathcal{A}= \{0, 1\}$
    • Menge der Zustände $\mathcal{S}=\{s_0, s_1\}$
    • Menge der Finalzustände $\mathcal{F}=\{s_1\}$

Mealy und Moore-Automaten

  • Mealy-Automaten
    • Bei einem Mealy-Automaten ist die Ausgabefunktion $\mathrm{\lambda}: \mathcal{S} \times \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ vom aktuellen Zustand und der Eingabe abhängig
  • Moore-Automaten
    • Bei einem Moore-Automaten ist die Ausgabefunktion $\mathrm{\lambda}: \mathcal{S} \rightarrow \mathcal{B}$ nur vom aktuellen Zustand abhängig

Mealy-Automat

mealy

Moore-Automat

moore

Vom Zustandsübergangsgraphen zum Schaltwerk

  • Beispiel 1: Der Zustandsübergangsgraph der Ampelschaltung soll in ein Schaltwerk umgesetzt werden
traffic_light
  • Zur Erstellung des Schaltwerks kann die Ausgabefunktion, die Übergangsfunktion und der Zustandsspeicher separat betrachtet werden
  • Für gewünschte Ausgabe- und Übergangsfunktion kann direkt aus dem Zustandsübergangsgraphen abgelesen und als Wahrheitstafel dargestellt werden
  • Zur Minimierung können anschließend z.B. KV-Diagramme oder das Quine-McCluskey-Verfahren verwendet werden

Vom Zustandsübergangsgraphen zum Schaltwerk

traffic_light
  • Handelt es sich um einen Moore- oder Mealy-Automaten?
Zustand$q_1$$q_0$$y_2$$y_1$$y_0$
$s_0$00001
$s_1$ 01010
$s_2$10110
$s_3$11100
  • Antwort: Moore-Automat, da Ausgabefunktion nur abhängig vom aktuellen Zustand
  • Ausgabefunktion:
    • $y_2 = q_1$
    • $y_1 = q_0 \nleftrightarrow q_1$
    • $y_0 = \lnot q_0 \land \lnot q_1 = \lnot (q_0 \lor q_1)$

Vom Zustandsübergangsgraphen zum Schaltwerk

Zustand$q_1$$q_0$$x_0$$d_1$$d_0$
$s_0$00000
$s_0$00101
$s_1$01011
$s_1$01111
$s_2$10000
$s_2$10100
$s_3$11010
$s_3$11111
traffic_light_part
  • Übergangsfunktion:
    • $d_1 = q_0$
    • Mittels KV-Diagramm oder Quine-McCluskey-Verfahren:
      $d_0 = (\overline{q}_1 x_0) \lor (\overline{q}_1 q_0) \lor (q_0 x_0)$

Vom Zustandsübergangsgraphen zum Schaltwerk

 traffic_light_gates

Vom Zustandsübergangsgraphen zum Schaltwerk

  • Beispiel 2: Dieser Zustandsübergangsgraph übersetzt einen 3-Bit Binär-Code in einen Gray-Code
    • Menge der Eingabesymbole $\mathcal{A}=\{0, 1\}$
    • Menge der Zustände $\mathcal{S}=\{s_0, s_1, s_2, s_3, s_4\}$
    • Menge der Ausgabesymbole $\mathcal{B}= \{0, 1\}$
    • Anfangszustand $s_0$
EingabeAusgabe
000000
001001
010011
011010
100110
101111
110101
111100
automata_gray_code
Quelle: basierend auf: D. W. Hoffmann: Grundlagen der Technischen Informatik, 2. Auflage; Hanser 2009, Abb. 9.2, S. 298ff

Vom Zustandsübergangsgraphen zum Schaltwerk

  • Aufgabe: Entwurf des entsprechenden Schaltwerks
  • Handelt es sich um einen Moore- oder Mealy-Automaten?
EingabeAusgabe
000000
001001
010011
011010
100110
101111
110101
111100
automata_gray_code
  • Antwort: Mealy-Automat, da Ausgabefunktion abhängig vom aktuellen Zustand und der Eingabe
Quelle: basierend auf: D. W. Hoffmann: Grundlagen der Technischen Informatik, 2. Auflage; Hanser 2009, Abb. 9.2, S. 298ff

Vom Zustandsübergangsgraphen zum Schaltwerk

$q_2$$q_1$$q_0$$x_0$$d_2$$d_1$$d_0$$y_0$
00001100
00010011
00101001
00111010
10100001
10110000
11001000
11011011
10000000
10010001
automata_gray_code
  • Mittels KV-Diagramm oder durch Ablesen und Vereinfachen ergibt sich:
    • $d_1 = \lnot(q_2 \lor q_1 \lor q_0 \lor x_0)$
    • $d_2 = \lnot(q_2 \lor q_1 \lor q_0 \lor x_0) \lor \overline{q}_2 \overline{q}_1 q_0 \lor q_2 q_1 \overline{q}_0$
    • $d_0 = \overline{q}_2 \overline{q}_1 x_0 \lor q_2 q_1 \overline{q}_0 x_0$
    • $y_0 = x_0 \nleftrightarrow q_0$

Gibt es Fragen?

questions

Anregungen oder Verbesserungsvorschläge können auch gerne per E-mail an mich gesendet werden: Kontakt


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