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Differentialgeometrie I
(engl. Differential Geometry I)

Niveaustufe, VerpflichtungsgradVertiefungsmodul, Wahlpflichtmodul
Lehr- und Lernformen,
Arbeitsaufwand
Vorlesung (4 SWS), Übung (2 SWS),
270 Stunden (90 Std. Präsenzzeit, 180 Std. Selbststudium)
Leistungspunkte,
Voraussetzungen zum Erwerb
9 LP
Studienleistung: Erreichen von mindestens 50 Prozent der Punkte aus den wöchentlich zu bearbeitenden Übungsaufgaben.
Prüfungsleistung: Klausur oder mündliche Prüfung
Sprache,
Benotung
Deutsch,
Die Benotung erfolgt mit 0 bis 15 Punkten gemäß der Prüfungsordnung für den Studiengang M.Sc. Mathematik.
Dauer des Moduls,
Häufigkeit
Ein Semester,
Regelmäßig im Wechsel mit anderen Aufbaumodulen im Gebiet Analysis/Geometrie
Modulverantwortliche(r)Prof. Dr. Ilka Agricola, Prof. Dr. Pablo Ramacher

Inhalt

  • Flächen im dreidimensionalen Raum, Strukturgleichungen, erste und zweite Fundamentalform, Gauss'sche und mittlere Krümmung,
  • Beispiele von besonderen Flächen (Drehflächen, Regelflächen, Minimalflächen...), Fundamentalsatz der Flächentheorie
  • Grundlagen der Riemann'schen Geometrie: Riemann'sche Mannigfaltigkeiten, Zusammenhänge und kovariante Ableitungen, Krümmungstensor und abgeleitete Krümmungsgrößen, Einstein-Räume, Räume konstanter Schnittkrümmung, geodätische Kurven, geodätische Koordinaten, Exponentialabbildung, Vollständigkeitseigenschaften (innere Metrik, Satz von Hopf-Rinow)
  • physikalische Anwendungen der Differentialgeometrie, etwa in spezieller oder allgemeiner Relativitätstheorie

Qualifikationsziele

Die Studierenden sollen

  • ihr Verständnis gekrümmter Räume weiterentwickeln und ihre mathematische Intuition in geometrischem Zusammenhang schärfen,
  • lernen, mathematische Eigenschaften koordinatenfrei zu erfassen und zu beschreiben,
  • lernen, geometrische Extremaleigenschaften (etwa bei Krümmung oder Kurvenlänge) mit physikalischen Variationsprinzipien in Verbindung zu setzen,
  • mathematische Arbeitsweisen einüben (Entwickeln von mathematischer Intuition und deren formaler Begründung, Schulung des Abstraktionsvermögens, Beweisführung),
  • in den Übungen ihre mündliche Kommunikationsfähigkeit durch Einüben der freien Rede vor einem Publikum und bei der Diskussion verbessern.

Voraussetzungen

Keine. Empfohlen werden die Kompetenzen, die in den Basismodulen sowie im Aufbaumodul Funktionentheorie und Vektoranalysis vermittelt werden.


Verwendbarkeit

Importmodul aus dem M.Sc. Mathematik.

Es kann im FB12 verwendet werden im Studiengang bzw. in den Studiengängen

  • B.Sc. Mathematik
  • M.Sc. Informatik
  • M.Sc. Mathematik
  • LAaG Mathematik

Im Studiengang LAaG Mathematik kann das Modul im Studienbereich Aufbaubereich absolviert werden.

Die Wahlmöglichkeit des Moduls ist dadurch beschränkt, dass es der Reinen Mathematik zugeordnet ist.


Literatur

  • Barret O'Neill, Semi-Riemannian geometry. Academic Press, 1983.
  • Michael Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, Berkeley, California: Publish Perish, Inc.



Bitte beachten Sie:

Diese Seite beschreibt ein Modul gemäß dem im Wintersemester 2019/20 aktuellsten gültigen Modulhandbuch. Die meisten für ein Modul gültigen Regeln werden nicht durch die Prüfungsordnung festgelegt, und können daher von Semester zu Semester aktualisiert werden. Folgende Versionen liegen im Online-Modulhandbuch vor:

Das Modulhandbuch enthält alle Module, unabhängig vom aktuellen Veranstaltungsangebot, vergleichen Sie dazu bitte das aktuelle Vorlesungsverzeichnis in Marvin.

Die Angaben im Online-Modulhandbuch wurden automatisch erstellt. Rechtsverbindlich sind die Angaben der Prüfungsordnung. Wenn Ihnen Unstimmigkeiten oder Fehler auffallen, sind wir für Hinweise dankbar.