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English translation

Konvexe Optimierung in Banachräumen
(engl. Convex Optimization in Banach Spaces)

Niveaustufe, VerpflichtungsgradVertiefungsmodul, Wahlpflichtmodul
Lehr- und Lernformen,
Arbeitsaufwand
Vorlesung (3 SWS), Übung (1 SWS),
180 Stunden (60 Std. Präsenzzeit, 120 Std. Selbststudium)
Leistungspunkte,
Voraussetzungen zum Erwerb
6 LP
Studienleistung: Erreichen von mindestens 50 Prozent der Punkte aus den wöchentlich zu bearbeitenden Übungsaufgaben.
Prüfungsleistung: Klausur oder mündliche Prüfung
Sprache,
Benotung
Deutsch,
Die Benotung erfolgt mit 0 bis 15 Punkten gemäß der Prüfungsordnung für den Studiengang M.Sc. Mathematik.
Dauer des Moduls,
Häufigkeit
Ein Semester,
Im Wechsel mit anderen Vertiefungsmodulen zur Optimierung
Modulverantwortliche(r)Prof. Dr. Thomas Surowiec

Inhalt

I. Unendlich-Dimensionale Optimierung

  • Unterhalbstetige Funktionale in topologischen Vektorräumen
  • Variationelle Probleme in (kompakten) metrischen und topologischen Vektorräumen
  • Das Variationsprinzip von Ekeland
  • Notwendige und approximative Bedingungen erster Ordnung für variationelle Probleme
  • Stetigkeit von Integralfunktionalen auf L-p-Räumen, der Satz von Krasnoselski
  • Die Rolle der schwachen Topologie in der Existenztheorie

II. Konvexe Analysis und Optimierung

  • Konvexe Mengen, Konvexe Funktionale, Fenchel-Legendre-Konjugierte (Satz von Fenchel-Moreau-Rockafellar, die Fenchel-Young-Ungleichung)
  • Verallgemeinerte Ableitungskonzepte, z.B., Richtungsdifferenzierbarkeit, Subdifferential
  • Kalkülregeln für konvexe Subdifferentiale, Anwendungen in der Optimierung

III. Numerische Lösungsverfahren

  • Numerische Lösungsverfahren erster Ordnung, z.B., Projizierte (Sub)-Gradienten, Mirror-Descent
  • Numerische Lösungsverfahren zweiter Ordnung: Halbglatt-Newton

Qualifikationsziele

Die Studierenden sollen

  • klassische Existenzsätze der Variationsrechnung sowie einige wichtige Konzepte und Ergebnisse aus der nichtlinearen Funktional-Analysis erlernen, wie beispielsweise Nemytski-Operatoren und deren Rolle in der Optimierung und Analysis von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen,
  • die Erweiterung der Konzepte aus der endlich-dimensionalen konvexen Analysis auf unendlich-dimensionale Probleme lernen; hier wird ein Fokus auf die Dualitätstheorie und Subdifferentiale gelegt,
  • die Formulierung, Implementierung und Konvergenzanalysis wichtiger Algorithmen in Funktionen-Räumen lernen,
  • Kenntnisse aus den Basismodulen und einigen Aufbaumodulen neu bewerten, z.B. aus den Modulen zur Analysis und zur Linearen Algebra sowie den Optimierungsmodulen,
  • die Anwendung von Konzepten aus der Funktionalanalysis erlernen, z.B. Duale Räume, Satz von Hahn-Banach und Trennungssätze,
  • die Beziehungen zu anderen Bereichen der Mathematik und zu anderen Wissenschaften erkennen,
  • mathematische Arbeitsweisen einüben (Entwickeln von mathematischer Intuition und deren formaler Begründung, Schulung des Abstraktionsvermögens, Beweisführung),
  • in den Übungen ihre mündliche Kommunikationsfähigkeit durch Einüben der freien Rede vor einem Publikum und bei der Diskussion verbessern.

Voraussetzungen

Keine. Empfohlen werden die Kompetenzen, die entweder in den Basismodulen Lineare Algebra I, Lineare Algebra II, Analysis I und Analysis II oder Grundlagen der linearen Algebra, Grundlagen der Analysis und Grundlagen der Höheren Mathematik vermittelt werden. Außerdem werden die Kompetenzen aus dem Modul Maß- und Integrationstheorie empfohlen. Darüber hinaus sind Kenntnisse der Funktionalanalysis von Vorteil.


Verwendbarkeit

Importmodul aus dem M.Sc. Mathematik.

Es kann im FB12 verwendet werden im Studiengang bzw. in den Studiengängen

  • M.Sc. Mathematik
  • M.Sc. Wirtschaftsmathematik

Im Studiengang M.Sc. Wirtschaftsmathematik kann das Modul im Studienbereich Mathematische Vertiefungs- und Praxismodule absolviert werden.

Das Modul ist der Angewandten Mathematik zugeordnet. Weitere Informationen zur Wählbarkeit sind der Bereichsbeschreibung zu entnehmen.


Literatur

(Keine Angaben.)



Bitte beachten Sie:

Diese Seite beschreibt ein Modul gemäß dem im Sommersemester 2021 aktuellsten gültigen Modulhandbuch. Die meisten für ein Modul gültigen Regeln werden nicht durch die Prüfungsordnung festgelegt, und können daher von Semester zu Semester aktualisiert werden. Folgende Versionen liegen im Online-Modulhandbuch vor:

Das Modulhandbuch enthält alle Module, unabhängig vom aktuellen Veranstaltungsangebot, vergleichen Sie dazu bitte das aktuelle Vorlesungsverzeichnis in Marvin.

Die Angaben im Online-Modulhandbuch wurden automatisch erstellt. Rechtsverbindlich sind die Angaben der Prüfungsordnung. Wenn Ihnen Unstimmigkeiten oder Fehler auffallen, sind wir für Hinweise dankbar.