Analysis I
SS 2018

Gliederung

Kapitel 1. Die reellen Zahlen

1. Zusammenstellung der Grundlagen
2. Die reellen Zahlen

   Kapitel 2. Folgen und Reihen

3. Grenzwerte von Folgen
   (Folgen reeller Zahlen. Rechnen mit konvergenten Folgen. Monotone beschränkte Folgen. Häufungswerte von Folgen. Berechnung von Quadratwurzeln. Cauchy-Folgen. Bestimmte Divergenz)
4. Unendliche Reihen
   (Der Begriff "Reihe". Konvergenzkriterien für Reihen. Rechnen mit konvergenten Reihen)
5. Folgen und Reihen komplexer Zahlen
   (Grundlagen: Die komplexen Zahlen. Konvergenz von Folgen in C. Reihen in C)
6. Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus
   (Die komplexe Exponentialfunktion. Sinus- und Cosinusfunktion)

   Kapitel 3. Stetige Funktionen

7. Grenzwerte und Stetigkeit
   (Der Abschluss einer Menge. Grenzwerte von Funktionen. Der Stetigkeitsbegriff)
8. Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen
   (Der Zwischenwertsatz. Maxima und Minima. Stetigkeit der Umkehrfunktion)

   Kapitel 4. Differenzierbare Funktionen

9. Differenzierbarkeit
   (Differenzierbare Funktionen. Allgemeine Potenzen)
10. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung
    (Lokale Extrema. Der Satz von Rolle. Der Mittelwertsatz. Der verallgemeinerte Mittelwertsatz und die Regel von l’Hospital)
11. Funktionenfolgen und -reihen, gleichmäßige Konvergenz
    (Funktionenfolgen, Funktionenreihen. Gleichmäßige Konvergenz. Potenzreihen. Stetige, nirgends differenzierbare Funktionen. Die Zahl \pi -- trigonometrische Funktionen)
12. Der Satz von Taylor

    Kapitel 5. Integrierbare Funktionen

13. Das Riemann-Integral
    (Ziele der Integrationstheorie. Riemann-Integrierbarkeit. Berechnung von Riemann-Integralen. Eigenschaften integrierbarer Funktionen. Epsilon-Delta-Formulierung der Integrierbarkeit)
14. Der Darbouxsche Zugang zum Riemann-Integral
    (Ober- und Untersummen. Das Riemannsche Integrabilitätskriterium. Anwendungen des Riemannschen Integrabilitätskriteriums)