Kapitel 5. Integrierbare Funktionen (Fortsetzung der Analysis I)
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Integration und Differentiation
(Stammfunktionen.
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Anwendung zur Berechnung von Integralen.
Die Substitutionsregel.
Partielle Integration.
Uneigentliche Integrale.
Integrale und Reihen)
Kapitel 6. Topologie metrischer Räume
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Metrische Räume
(Metriken.
Normierte Vektorräume.
Offene Mengen.
Abgeschlossene Mengen.
Äquivalenz von Metriken, Äquivalenz von Normen)
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Grenzwerte und Stetigkeit
(Grenzwerte.
Abschluss einer Teilmenge.
Stetigkeit.
Vollständigkeit.
Der Banachsche Fixpunktsatz)
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Kompaktheit
(Kompakte Mengen.
Eigenschaften kompakter Mengen)
Kapitel 7. Differentialrechnung im Rn
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Kurven im Rn
(Kurven.
Bogenlängen von Kurven)
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Partielle Ableitungen
(Wie definieren wir Differenzierbarkeit?
Partielle Ableitungen.
Der Satz von Schwarz)
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Totale Differenzierbarkeit
(Differenzierbare Abbildungen.
Die Kettenregel.
Ausblick: Differentiation in Banachräumen.
Richtungsableitungen.
Gradient und Niveaumengen.
Der Mittelwertsatz)
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Der lokale Umkehrsatz und der Satz über implizite Funktionen
(Diffeomorphismen.
Der lokale Umkehrsatz.
Der Satz über implizite Funktionen)
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Extremwerte differenzierbarer Funktionen
(Notwendiges Kriterium für lokale Extrema.
Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema)
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Extrema unter Nebenbedingungen
(Untermannigfaltigkeiten.
Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren)
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Der Satz von Taylor
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Zusammenhängende Mengen
(Bogenzusammenhängende Mengen.
Zusammenhängende Mengen.
Allgemeiner Zwischenwertsatz)
Kapitel 8. Mehrdimensionale Integration
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Integration über Quader
(Untersummen und Obersummen.
Unter- und Oberintegral.
Integrierbarkeit)
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Jordan-messbare Mengen
(Inneres und äußeres Volumen.
Jordan-Messbarkeit und Volumen.
Jordan-Nullmengen.)
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Integration über beschränkte Mengen
(Integration über beschränkte Mengen.
Integrierbarkeit stetiger Funktionen)
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Methoden zur Berechnung mehrdimensionaler Integrale: Der Satz von Fubini
(Satz von Fubini.
Flächen unter Graphen.
Rotationskörper.
Cavalierisches Prinzip.
Das Volumen n-dimensionaler Kugeln)
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Ausblick: Das Banach-Tarski-Paradoxon
Kapitel 9. Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz
(Differentialgleichungen.
Reduktion auf ein System erster Ordnung.
Der Satz von Picard-Lindelöf)
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Elementare Lösungsmethoden
(DGL mit getrennten Variablen.
Lineare DGL erster Ordnung.
Homogene DGL)
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Lineare Differentialgleichungen
(Homogene lineare DGL.
Inhomogene lineare DGL.
Lineare DGL n-ter Ordnung)
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Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
(Der homogene Fall.
Reelle Lösungen.
Spezielle Inhomogenitäten)
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Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten