Analysis II
WS 2022/23

Gliederung

Kapitel 5. Integrierbare Funktionen

13. Das Riemann-Integral
    (Ziele der Integrationstheorie. Riemann-Integrierbarkeit. Berechnung von Riemann-Integralen. Eigenschaften integrierbarer Funktionen. Epsilon-Delta-Formulierung der Integrierbarkeit)
14. Der Darbouxsche Zugang zum Riemann-Integral
    (Ober- und Untersummen. Das Riemannsche Integrabilitätskriterium. Anwendungen des Riemannschen Integrabilitätskriteriums)
15. Integration und Differentiation
    (Stammfunktionen. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Anwendung zur Berechnung von Integralen. Die Substitutionsregel. Partielle Integration. Uneigentliche Integrale. Integrale und Reihen)

    Kapitel 6. Topologie metrischer Räume

16. Metrische Räume
    (Metriken. Normierte Vektorräume. Offene Mengen. Abgeschlossene Mengen. Äquivalenz von Metriken, Äquivalenz von Normen)
17. Grenzwerte und Stetigkeit
    (Grenzwerte. Abschluss einer Teilmenge. Stetigkeit. Vollständigkeit. Der Banachsche Fixpunktsatz)
18. Kompaktheit
    (Kompakte Mengen. Eigenschaften kompakter Mengen)

    Kapitel 7. Differentialrechnung im Rⁿ

19. Kurven im Rⁿ
    (Kurven. Bogenlängen von Kurven)
20. Partielle Ableitungen
    (Wie definieren wir Differenzierbarkeit? Partielle Ableitungen. Der Satz von Schwarz)
21. Totale Differenzierbarkeit
    (Differenzierbare Abbildungen. Die Kettenregel. Ausblick: Differentiation in Banachräumen. Richtungsableitungen. Gradient und Niveaumengen. Der Mittelwertsatz)
22. Der lokale Umkehrsatz und der Satz über implizite Funktionen
    (Diffeomorphismen. Der lokale Umkehrsatz. Der Satz über implizite Funktionen)
23. Extremwerte differenzierbarer Funktionen
    (Notwendiges Kriterium für lokale Extrema. Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema)
24. Extrema unter Nebenbedingungen
    (Untermannigfaltigkeiten. Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren)
25. Der Satz von Taylor
26. Zusammenhängende Mengen
    (Bogenzusammenhängende Mengen. Zusammenhängende Mengen. Allgemeiner Zwischenwertsatz)

    Kapitel 8. Mehrdimensionale Integration

27. Integration über Quader
    (Untersummen und Obersummen. Unter- und Oberintegral. Integrierbarkeit)
28. Jordan-messbare Mengen
    (Inneres und äußeres Volumen. Jordan-Messbarkeit und Volumen. Jordan-Nullmengen.)
29. Integration über beschränkte Mengen
    (Integration über beschränkte Mengen. Integrierbarkeit stetiger Funktionen)
30. Methoden zur Berechnung mehrdimensionaler Integrale: Der Satz von Fubini
    (Satz von Fubini. Flächen unter Graphen. Rotationskörper. Cavalierisches Prinzip. Das Volumen n-dimensionaler Kugeln)
31. Ausblick: Das Banach-Tarski-Paradoxon

    Kapitel 9. Gewöhnliche Differentialgleichungen

32. Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz
    (Differentialgleichungen. Reduktion auf ein System erster Ordnung. Der Satz von Picard-Lindelöf)
33. Elementare Lösungsmethoden
    (DGL mit getrennten Variablen. Lineare DGL erster Ordnung. Homogene DGL)
34. Lineare Differentialgleichungen
    (Homogene lineare DGL. Inhomogene lineare DGL. Lineare DGL n-ter Ordnung)
35. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
    (Der homogene Fall. Reelle Lösungen. Spezielle Inhomogenitäten)
36. Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten