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Notation

Typ Schriftart Beispiele
Variablen (Skalare) kursiv $a, b, x, y$
Funktionen aufrecht $\mathrm{f}, \mathrm{g}(x), \mathrm{max}(x)$
Vektoren fett, Elemente zeilenweise $\mathbf{a}, \mathbf{b}= \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = (x, y)^\top,$ $\mathbf{B}=(x, y, z)^\top$
Matrizen Schreibmaschine $\mathtt{A}, \mathtt{B}= \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$
Mengen kalligrafisch $\mathcal{A}, \{a, b\} \in \mathcal{B}$
Zahlenbereiche, Koordinatenräume doppelt gestrichen $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3$

Licht

  • Licht ist eine gequantelte, elektromagnetische Welle
  • Der sichtbarer Bereich liegt zwischen 380 bis 770nm
  • Die Farbe des sichtbaren Lichtes entspricht seiner Wellenlänge
  • Lichtquellen senden häufig ein breites Spektrum aus. Durch die Überlagerung vieler Frequenzen erscheint das Licht weiß (z.B. Tageslicht)
light_wavelength

Licht

  • Lichtquellen senden häufig ein breites Spektrum verschiedener Wellenlängen aus
  • Weißes Licht entsteht aus der Überlagerung vieler Wellenlängen (z.B. Tageslicht)
daylight
Spektrale Leistungsdichte von Tageslicht (CIE illuminant D65)
Wellenlänge $\lambda$
Rel.  spektrale  Leistung
Datenquelle für Abbildung:: CIE D65 Reference Spectrum,

Lichttransport

lightpaths
  • Licht wird von eine Lichtquelle emittiert
  • Einige Lichtstrahlen treffen evt. direkt ins Auge andere werden zunächst an einer Objektoberfläche reflektiert
  • Bei der Reflexion an der Objektoberfläche wird typischerweise ein Teil des Lichts absorbiert, d.h. das Licht verändert seine Farbe
  • Treffen die Lichtstrahlen ins Auge, werden Rezeptoren auf der Netzhaut aktiviert und im Gehirn formt sich ein Bild

Farbwahrnehmung: Dreifarbentheorie

Beim Menschen gibt es zwei Systeme von Lichtsinneszellen:

  • System 1: Stäbchen, die ausschließlich auf Hell-Dunkel-Kontraste reagieren
  • System 2: Drei Arten von Farbrezeptoren
    • L-Zapfen
      wavelength_human_eye
      Wellenlänge $\lambda$
      Normalisierte Absorption
    • M-Zapfen
    • S-Zapfen
Datenquelle für Abbildung: J. K. Bowmaker, H. J. A. Dartnall: Visual pigments of rods and cones in a human retina., The Journal of Physiology, Volume 298, Issue 1, Jan. 1980

RGB-Farbraum

rgb_add rgb_interp
  • Additive Mischung von drei Grundfarben (Rot, Grün, Blau)
(Rot, Grün, Blau) Farbe
(1.0, 0.0, 0.0)
(0.0, 1.0, 0.0)
(0.0, 0.0, 1.0)
(1.0, 1.0, 0.0)
(1.0, 0.0, 1.0)
(0.0, 1.0, 1.0)
(0.0, 0.0, 0.0)
(0.5, 0.5, 0.5)
(1.0, 1.0, 1.0)
(0.2, 0.4, 0.0)
(0.8, 0.2, 0.3)

CIE RGB Farbraum

CIE_1931_chromaticity_diagram_CIERGB
alle wahrnehmbaren Farben
CIE RGB mit
positiven $R$, $G$, $B$
$x$
$y$

  • 1931 vom CIE entwickelter Farbraum basierend auf Tests mit Probanden
  • Drei Strahler: 700 nm (rot), 546,1 nm (grün), 435,8 nm (blau)
  • Frage: Können alle wahrnehmbaren Farben aus diesen drei Grundfarben gemischt werden?
  • Ergebnis: Ja, aber nicht alle Koeffizienten positiv
CIE1931_RGBCMF
$\bar{r}(\lambda)$
$\bar{g}(\lambda)$
$\bar{b}(\lambda)$
  • Eine beliebige spektrale Leistungsdichte $S(\lambda)$ kann wie folgt repräsentiert werden:
    ${\small R = \int\limits_0^\infty S(\lambda) \,\bar{r}(\lambda) \,d\lambda \quad\quad G = \int\limits_0^\infty S(\lambda) \,\bar{g}(\lambda) \,d\lambda \quad\quad B = \int\limits_0^\infty S(\lambda) \,\bar{b}(\lambda) \,d\lambda \quad\quad }$

sRGB Farbraum

CIE_1931_chromaticity_diagram_sRGB
  • Aktueller Standard für Monitore, Webseiten, Bilder ohne explizites Farbprofil
  • RGB-Werte liegen im Bereich [0.0, 1.0]
  • Bereich der darstellbaren Farben ist kleiner als bei CIE RGB
  • Lineare Transformation zu CIE RGB, wenn vorher Gamma-Korrektur durchgeführt wird

sRGB Gamma

sRGB_gamma
sRGB Gamma
2.2 Gamma
  • Digitale Bilder verwenden häufig nur 8-Bit (256 Werte) pro Farbkanal
  • Weil das menschliche Sehsystem bei der Unterscheidung von dunkleren Intensitäten besser ist als bei helleren, soll der wahrgenommene Quantisierungsfehler (Rundungsfehler) durch die nicht-lineare Gamma-Funktion verringert werden
  • sRGB-Werte sind näherungsweise linear in der Wahrnehmung aber nicht linear in gemessenen radiometrischen Werten
  • Die Funktion zur Dekodierung eines Farbkanals $C$ von sRGB in den radiometrisch linearen Farbraum lautet:
    ${\small C_\mathrm{linear}= \begin{cases}\dfrac{C_\mathrm{srgb}}{12.92}, & C_\mathrm{srgb}\le0.04045 \\[5mu] \left(\dfrac{C_\mathrm{srgb}+0.055}{1.055}\right)^{\!2.4}, & C_\mathrm{srgb}>0.04045 \end{cases}}$

Weitere Farbräume

Abbildung von CIE XYZ Farbraum zur CIE-Normfarbtafel

Rendering-Gleichung Grundlagen: Raumwinkel

steradian
$r$
$r^2$
$\Omega=1\,\mathrm{sr}$
solidangle
  • Der Raumwinkel $\Omega$ einer beliebigen Fläche $A$ entspricht dem Quotienten der Fläche $S$, die sich ergibt, wenn $A$ auf eine Kugel vom Radius $r$ projiziert wird, und $r^2$:

    $\Omega = \int\limits_{\omega}d\omega = \frac{S}{r^2}$

  • Obwohl der Raumwinkel eine dimensionslose Größe ist, wird er zur Verdeutlichung in der Einheit "Steradiant" $\mathrm{sr}$ angegeben
  • Der Raumwinkel einer Fläche mit konstanter Größe nimmt quadratisch mit dem Abstand vom Kugelzentrum ab
  • Beispiel: Ein Raumwinkel von $\Omega=1\,\mathrm{sr}$ umschließt auf einer Kugel mit dem Radius $1\,\mathrm{m}$ eine Fläche von $1\,\mathrm{m}^2$. Die selbe Fläche bei doppeltem Radius ergibt $\Omega=\frac{1}{4}\,\mathrm{sr}$
  • Zwischen dem differentiellen Raumwinkel $d\omega$ und den Kugelkoordinaten $\theta$ und $\phi$ besteht der Zusammenhang:

    $\Omega = \int\limits_{\omega}d\omega = \int\limits_{\omega}d\theta(\sin \theta \, d\phi)= \int\limits_{\omega}\sin \theta \, d\theta \, d\phi$

Rendering-Gleichung Grundlagen: Strahlungsfluss

luminous_flux
  • Strahlungsfluss $\Phi$ (radiant flux)
  • Strahlungsfluss =
    Strahlungsenergie pro Zeit

    $\Phi = \frac{dQ}{dt} \approx \frac{\Delta Q}{\Delta t}$

  • Einfache Anschauung:
    • Jedes Photon hat die Energie $E_{\small\mathrm{photon}}=\frac{h \, c}{\lambda}$ mit
      $h$: Plancksches Wirkungsquantum
      $c$: Lichtgeschwindigkeit
      $\lambda$: Wellenlänge
    • Strahlungsfluss = Summe der Photonen-Energien, die pro Zeitraum $\Delta t$ emittiert werden
  • Einheit: Watt $[\mathrm{W}] = [\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}}]$

Rendering-Gleichung Grundlagen: Strahlstärke

luminous_intensity
  • Strahlstärke $I$ (radiant intensity)
  • Strahlstärke = Strahlungsfluss pro Raumwinkel
    $I = \frac{d\Phi}{d\omega} \approx \frac{\Delta \Phi}{\Delta \omega}$
  • Strahlstärke = Summe der Photonen-Energien, die pro Zeit und Raumwinkel emittiert werden
  • Einheit: Watt pro Steradiant $[\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{sr}}]$
  • Wird z.B. benötigt, wenn die Lichtquelle nicht in alle Richtung gleich stark abstrahlt

Rendering-Gleichung Grundlagen: Bestrahlungsstärke

illuminance
  • Bestrahlungsstärke $E$ (irradiance)
  • Bestrahlungsstärke = Strahlungsfluss pro Flächenelement

    $E = \frac{d\Phi}{dA} \approx \frac{\Delta \Phi}{\Delta A}$

  • Der Strahlungsfluss kommt dabei aus allen Richtungen der Hemisphäre über der Fläche
  • Einheit: Watt pro Quadratmeter $[\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2}]$
  • Einfache Anschauung: einfallende Photonen-Energien pro Zeit pro Flächenelement

Rendering-Gleichung Grundlagen: Strahldichte

luminance
  • Strahldichte $L$ (radiance)
  • Strahldichte = Strahlungsfluss pro Raumwinkel und sichtbarer Fläche

    $L = \frac{d^2\Phi}{d\omega\, \cos(\theta) \,dA} \approx \frac{\Delta \Phi}{\Delta \omega\, \cos(\theta) \,\Delta A}$

  • Die aus Richtung $\theta$ gesehene Fläche erscheint um den Faktor $\cos(\theta)$ verkürzt
  • Anwendung:
    • Entspricht der beobachteten Helligkeit
    • Strahlungsfluss in Richtung Auge
    shorter
    $\theta$
    $\theta$
    $\Delta A$
    $\cos(\theta) \,dA$
  • Einfache Anschauung: Photonen-Energien pro Zeit, Raumwinkel und sichtbarem Flächenelement
  • Einheit: Watt pro Steradiant pro Quadratmeter $[\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{sr}\, \mathrm{m}^2}]$

Rendering-Gleichung (Rendering Equation)

  • Die Rendering-Gleichung berechnet die reflektierte Strahldichte $L_o(\mathbf{v})$ im Oberflächenpunkt $\mathbf{x}$ mit Normale $\mathbf{n}$ in Richtung $\mathbf{v}$ durch Integration über die Anteile aller eingehenden Strahldichten $L_i(\mathbf{l})$ der Hemisphäre über der Oberfläche

    $L_o(\mathbf{v}) = L_e(\mathbf{v}) + \int\limits_\Omega \mathrm{f}_r(\mathbf{v}, \mathbf{l})\, \, \underbrace{L_i(\mathbf{l}) \cos(\theta) \, d\omega}_{dE(\mathbf{l})}$

render_eqn
$\mathbf{x}$
$\theta$
$L_i(\mathbf{l})$
$L_o(\mathbf{v})$
$\Omega$
$\mathbf{n}$
  • $L_o(\mathbf{v})$ ausgehende Strahldichte
  • $L_e(\mathbf{v})$ ist die von der Fläche selbst emittierte Strahldichte
  • $L_i(\mathbf{l})$ eingehende Strahldichte
  • $E(\mathbf{l})$ Bestrahlungsstärke
  • $\mathrm{f}_r(\mathbf{v}, \mathbf{l})$ ist die sogenannte "Bidirectional Reflection Distribution Function" (BRDF)
  • $\Omega$ ist der Raumwinkel der Halbkugel über der Oberfläche

BRDF

BRDF (Bidirectional Reflection Distribution Function)

  • Die BRDF beschreibt den winkelabhängigen spektralen Reflexionsfaktor einer Oberfläche durch das Verhältnis von reflektierter Strahldichte $L_o$ zur einfallenden Bestrahlungsstärke $E$

    $\mathrm{f}_r(\mathbf{v}, \mathbf{l}) = \frac{ dL_o(\mathbf{v})} { dE(\mathbf{l})} $

  • Eingehende Richtung $\mathbf{l}$ und ausgehende Richtung $\mathbf{v}$ können jeweils mit den Winkeln $\theta$ und $\phi$ parametrisiert werden. Somit ist die BRDF eine 4-dimensionale Funktion
  • Durch die Angabe dieser 4D-Funktion ist die Reflexionseigenschaft einer Fläche sehr genau beschrieben

BRDF (Bidirectional Reflection Distribution Function)

  • Die "Form" der BRDF bestimmt die Reflexionseigenschaften einer Oberfläche
glossyTodiffuse
glossyTodiffuse

BRDF (Bidirectional Reflection Distribution Function)

  • Die BRDF eines bestimmten Materials kann gemessen und in einer 4D Tabelle abgelegt werden
  • Die Tabellen sind in Material-Datenbanken zu finden
  • 4D Tabellen benötigen viel Speicher und die Materialien lassen sich nicht direkt editieren
  • Daher werden in der Praxis meist parametrische BRDF Modelle verwendet (Phong, Blinn-Phong, Cook-Torrance usw.)

BRDF Eigenschaften

  • Immer positiv
    $\mathrm{f}_r(\mathbf{v}, \mathbf{l}) \ge 0 \quad \forall \, \mathbf{v}, \mathbf{l} \in \Omega$
  • Helmholtz Reziprozität:
    $\mathrm{f}_r(\mathbf{v}, \mathbf{l}) = \mathrm{f}_r(\mathbf{l}, \mathbf{v})$
    d.h. eingehende und ausgehende Richtungen können vertauscht werden
  • Energieerhaltung:
    $\int\limits_\Omega \mathrm{f}_r(\mathbf{v}, \mathbf{l})\, \cos(\theta) d\omega \le 1$

Gibt es Fragen?

questions

Anregungen oder Verbesserungsvorschläge können auch gerne per E-Mail an mich gesendet werden: Kontakt

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