Bildsynthese
PBR Materialien

• Physik-basiertes Rendering ("Physically-Based Rendering", PBR) ist weit verbreitet
• Die PBR Materialmodelle [Walter et al. 2007] werden inzwischen überall bei Echtzeit- und Offline-Renderverfahren in der Industrie eingesetzt (Industriestandard) [Disney 2012] [Unreal Engine 2013] [Frostbite 2014]
• Die BSDF besteht dabei aus folgenden Komponenten [Disney 2015]:
  • BRDF Dielektrika
  • BRDF Metalle
  • BTDF
  • Emission
  • Klarlack (Clear Coat)
  • Glanz (Sheen)
  • Subsurface Scattering
• Durch Kombination der einzelnen Komponenten können sehr viele verschiedene Materialien dargestellt werden

Mikrofacetten

Makroskopisches Verhalten

$\mathbf{v}$

$-\mathbf{l}$

$\mathbf{h}$

$\mathbf{n}$

• Mathematische Modellierung der Oberfläche aus Mikrofacetten (sehr viel kleiner als ein Pixel). Je rauer die Oberfläche, desto unterschiedlicher ist deren Orientierung [Cook Torrance 1981]
• Die BRDF besteht aus einem diffusen und einem spekularen Anteil
  $\mathrm{f}_r(\mathbf{v}, \mathbf{l}) = \mathrm{f}_d(\mathbf{v}, \mathbf{l}) + \mathrm{f}_s(\mathbf{v}, \mathbf{l})$

• Diffuser Anteil ist konstant (oder null):
  $\mathrm{f}_d(\mathbf{v}, \mathbf{l}) = \frac{\rho_d}{\pi}$
• Die BRDF des spekularen Anteils lautet:
  $\mathrm{f}_s(\mathbf{v}, \mathbf{l}) = \frac{\mathrm{F}(\mathbf{v},\mathbf{h})\,\mathrm{D}(\mathbf{h})\,\mathrm{G}(\mathbf{l}, \mathbf{v})}{4\,\,\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{l}\rangle\,\,\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}\rangle}$
  mit
  • $\mathrm{F}$: Fresnel Reflexionsgrad
  • $\mathrm{D}$: Verteilung der Mikrofacetten (Rauheit, "Normal distribution function", NDF)
  • $\mathrm{G}$: Geometriefaktor (Selbstverschattung)

• Das Verhältnis von reflektierter und transmittierter Lichtmenge hängt vom Einfallswinkel der Lichtstrahlen und den Brechungsindizes der beteiligten Materialien ab

• Licht wird mit einer winkelabhängigen relativen Häufigkeit entweder reflektiert, transmittiert oder absorbiert
• Der reflektierte Anteil wird an den Mikrofacetten gestreut. Makroskopisch entsteht daraus der spekulare Anteil der Reflexion.
• Der transmittierte Anteil wird bei opakten Materialien unter der Oberfläche zufällig abgelenkt, teilweise absorbiert (Wellenlängen abhängig) und tritt unter verschiedenen Winkel wieder aus. Makroskopisch entsteht daraus der diffuse Anteil der Reflexion.
• Je mehr Licht reflektiert wird, desto weniger Licht wird transmittiert und desto kleiner ist demnach der diffuse Anteil

Mikrofacetten

Makroskopisches Verhalten

$\mathbf{n}$

Spekularer Anteil

Diffuser Anteil

• In Metallen wird der transmittierte Anteil absorbiert, d.h. es gibt keine diffuse Reflexion
• Der reflektierte Anteil ist Wellenlängen abhängig, daher ist der spekulare Anteil farbig

Mikrofacetten

Makroskopisches Verhalten

$\mathbf{n}$

Spekularer Anteil

$\eta_1$

$\eta_2$

$\theta_1$

$\theta_1$

$\theta_2$

$\mathrm{F}$

$1-\mathrm{F}$

• Reflektierter Anteil:
  $\begin{align} \mathrm{F}_{\tiny\mbox{para}} &= \frac{\eta_2 \cos \theta_1 - \eta_1 \cos \theta_2}{\eta_2 \cos \theta_1 + \eta_1 \cos \theta_2}\\ \mathrm{F}_{\tiny\mbox{perp}} &= \frac{\eta_2 \cos \theta_2 - \eta_1 \cos \theta_1}{\eta_2 \cos \theta_2 + \eta_1 \cos \theta_1}\\ \mathrm{F} &= \frac{1}{2} \left(\mathrm{F}_{\tiny \mbox{para}}^2 + \mathrm{F}_{\tiny\mbox{perp}}^2\right) \end{align}$
• Refraktierter Anteil: $1 - F$
• Bei einem Übergang von optisch dünneren zum optisch dichteren Medium ($\eta_1 < \eta_2$), wird der Strahl hin zur Normalen gebrochen. Im anderen Fall weg von der Normalen.
• Der mathematische Zusammenhang zwischen Einfallswinkel $\theta_1$ und dem Winkel des gebrochenen Strahls $\theta_2$ lautet:
  $\eta_1 \sin(\theta_1) = \eta_2 \sin(\theta_2)$

• Dabei ist $\mathrm{F}_0$ der Reflexionsgrad für den senkrechten Lichteinfall $\theta_1 = 0$:
  $\mathrm{F}_0 = \frac{(\eta_2 - \eta_1)^2}{(\eta_2 + \eta_1)^2} $

• Beim Mikrofacetten-Modell wird als Winkel $\theta_1$ der Winkel zwischen Sichtrichtung $\mathbf{v}$ und Halbvektor $\mathbf{h}$ verwendet, weil nur diejenigen Mikrofacetten, die den makroskopischen Halbvektor als Normale haben, einen Reflexionsbeitrag in Sichtrichtung haben
• Laut [Cook Torrance 1981] berechnet sich der Reflexionsgrad für $\eta_1 = 1$ gemäß:
  $\begin{align}c &= \langle\mathbf{v} \cdot \mathbf{h}\rangle \\ g &= \sqrt{\eta_2^2+ c^2 - 1}\\ F_{\tiny \mbox{Cook-Torrance}}(\mathbf{v}, \mathbf{h}) &= \frac{1}{2} \left( \frac{g - c}{g + c} \right)^2 \left( 1 + \left( \frac{ c\,(g + c) - 1 }{ c\,(g - c)+ 1 } \right)^2 \right) \end{align}$

Mikrofacetten

Makroskopisches Verhalten

$\mathbf{v}$

$-\mathbf{l}$

$\mathbf{h}$

$\mathbf{n}$

• Alternativ kann auch die schneller zu berechnende Schlick Approximation [Schlick 1994] des Reflexionsgrads verwendet werden:
  $F_{\tiny \mbox{Schlick}}(\mathbf{v}, \mathbf{h}) = \mathrm{F}_0 + \left(1.0 − \mathrm{F}_0\right) \left(1.0 − \langle\mathbf{v} \cdot \mathbf{h}\rangle \right)^5$
• Die Abbildung zeigt den Vergleich für Glass mit $\mathrm{F}_0 = 0.04$

$F_{\tiny \mbox{Cook-Torrance}}$

$F_{\tiny \mbox{Schlick}}$

Winkel in Grad

Reflexionsgrad

• Abhängig von der Rauheit der Oberfläche ändert sich die Verteilung der Mikrofacetten
• Bei einer rauhen Oberfläche ist die Verteilung um die Oberflächennormale breiter gestreut
• Für die Verteilung gibt es in der Literatur [Walter et al. 2007] verschiedene Vorschläge:
  
  $\mathrm{D}_{\tiny \mbox{Blinn}}(\mathbf{h}) = \frac{1}{ \pi \alpha^2 } \langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{h}\rangle^{n_s}$   mit   $n_s = 2\alpha^{-2} - 2$
  $\mathrm{D}_{\tiny \mbox{Beckmann}}(\mathbf{h}) = \frac{1}{ \pi \alpha^2 \langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{h}\rangle^4 } \exp{ \left( \frac{ \langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{h}\rangle^2 - 1}{\alpha^2 \langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{h}\rangle^2} \right) }$
  $\mathrm{D}_{\tiny \mbox{GGX}}(\mathbf{h}) = \frac{\alpha^2}{\pi \left(\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{h}\rangle^2 (\alpha^2-1)+1\right)^2}$
• Dabei gilt $\alpha = r_p^2$ mit der wahrgenommenen Rauheit $r_p$ im Intervall [0.0, 1.0]

• Abhängig vom der Einfallsrichtung des Lichts und der Sichtrichtung des Betrachters kommt es an den Mikrofacetten zu Abschattung und Maskierung des Lichts
• [Blinn 1977] und [Cook Torrance 1981] nehmen V-förmige Kerben an und leiten so einen Geometriefaktor $0 \le G \le 1$ ab.
  

  Keine Beeinträchtigung

  Maskierung

  Abschattung

  $\mathbf{n}$

  $-\mathbf{l}$

  $\mathbf{v}$

  $\mathbf{h}$

  $\mathbf{n}$

  $-\mathbf{l}$

  $\mathbf{v}$

  $\mathbf{h}$

  $\mathbf{n}$

  $-\mathbf{l}$

  $\mathbf{v}$

  $\mathbf{h}$
  $\mathrm{G}_{\tiny \mbox{Cook-Torrance}}(\mathbf{l}, \mathbf{v}) = \operatorname{min}\left( 1, \frac{ 2 \langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{h}\rangle \langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}\rangle }{ \langle\mathbf{v} \cdot \mathbf{h}\rangle}, \frac{ 2 \langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{h}\rangle \langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{l}\rangle }{ \langle\mathbf{v} \cdot \mathbf{h}\rangle} \right)$

• Ein weiteres bekanntes Model aus [Smith 1967] setzt den Geometriefaktor aus einem Anteil für die Lichtrichtung und einem für die Sichtrichtung zusammen:
  $\mathrm{G}_{\tiny \mbox{Smith}}(\mathbf{l}, \mathbf{v}) = \mathrm{G}_1(\mathbf{l}) \mathrm{G}_1(\mathbf{v}) $
• Verschiedenen $\mathrm{G}_1$ gemäß [Walter et al. 2007] sind:
  $\mathrm{G}_{1\ \tiny \mbox{Beckmann}}(\mathbf{v}) =\left\{ \begin{array}{l l} \frac{ 3.535 \,c \,+ \,2.181 \,c^2 }{ 1 \,+ \,2.276 \,c \,+ \,2.577 \,c^2 } & : \,\, c < 1.6\\ 1 & : \,\, c \ge 1.6\\ \end{array} \right.$    mit   $c = \frac{\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}\rangle}{ \alpha \sqrt{1 - \langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}\rangle^2} }$
  $\mathrm{G}_{1\ \tiny \mbox{GGX}}(\mathbf{v}) = \frac{ 2 \, \langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}\rangle }{ \langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}\rangle + \sqrt{ \alpha^2 + (1 - \alpha^2)\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}\rangle^2 } }$
• Schnell zu berechnende Approximation [Schlick 1994] für die GGX Variante:
  $\mathrm{G}_{1\ \tiny \mbox{Schlick-GGX}}(\mathbf{v}) =\frac{\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}\rangle}{\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}\rangle(1 - k) + k }$    mit   $k = \frac{\alpha}{2}$

• Der spekulare Anteil der GGX Mikrofacetten BRDF lautet:
  $\begin{align}L_{o,s}(\mathbf{v}) &= \int\limits_\Omega \frac{\mathrm{F}(\mathbf{v},\mathbf{h})\,\mathrm{D}(\mathbf{h})\,\mathrm{G}(\mathbf{l},\mathbf{v})}{4\,\,\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{l}\rangle\,\,\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}\rangle} \,L_i(\mathbf{l}) \cos(\theta) \, d\omega \end{align}$
• Dies ist ein Integral über alle einfallenden Lichtrichtungen $\mathbf{l}$
• Die Verteilung der Mikrofacetten $\mathrm{D}(\mathbf{h})$ ist eine Funktion des Halbvektors $\mathbf{h}$
  $\mathrm{D}_{\tiny \mbox{GGX}}(\mathbf{h}) = \frac{\alpha^2}{\pi \left(\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{h}\rangle^2 (\alpha^2-1)+1\right)^2}$
• Da diese Verteilung als Funktion bekannt ist, soll das Integral durch Importance Sampling über den Halbvektor $\mathbf{h}$ gelöst werden

$\mathbf{v}$

$-\mathbf{l}$

$\mathbf{h}$

$\mathbf{n}$

• Zusammenhang zwischen $\mathbf{l}$ und $\mathbf{h}$
• Wie aus der Zeichnung ersichtlich, kann $\mathbf{l}$ durch Reflektion von $\mathbf{v}$ an $\mathbf{h}$ berechnet werden
• Damit gilt:
  $\mathbf{l} = 2 \,(\mathbf{v}^\top \mathbf{h}) \, \mathbf{h} - \mathbf{v}$

• Integration durch Substitution:
  $\begin{align}L_{o,s}(\mathbf{v}) &= \int\limits_{\Omega_h} \frac{\mathrm{F}(\mathbf{v},\mathbf{h})\,\mathrm{D}(\mathbf{h})\,\mathrm{G}(\mathbf{l},\mathbf{v})}{4\,\,\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{l}\rangle\,\,\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}\rangle} \,L_i(\mathbf{l}) \cos(\theta) \, d\omega\\ &= \int\limits_{\Omega_h} \frac{\mathrm{F}(\mathbf{v},\mathbf{h})\,\mathrm{D}(\mathbf{h})\,\mathrm{G}(\mathbf{l},\mathbf{v})}{4\,\,\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{l}\rangle\,\,\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}\rangle} \,L_i(\mathbf{l}) \cos(\theta) \, \frac{d\omega}{d\omega_h} \,d\omega_h\\ &= \int\limits_{\Omega_h} \frac{\mathrm{F}(\mathbf{v},\mathbf{h})\,\mathrm{D}(\mathbf{h})\,\mathrm{G}(\mathbf{l},\mathbf{v})}{4\,\,\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{l}\rangle\,\,\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}\rangle} \,L_i(\mathbf{l}) \cos(\theta) \, \frac{\sin(\theta)\, d\theta \,d\phi}{\sin(\theta_h) \,d\theta_h d\phi_h} \,d\omega_h \end{align}$
  

  $d\omega = \sin(\theta)\, d\phi\, \cdot d\theta $

with $\theta^\ast = 2 \,\theta_h^\ast$ and $\phi^\ast = \phi_h^\ast$

• Importance sampling:
  $\begin{align}L_{o,s}(\mathbf{v}) &= \int\limits_{0}^{2\pi}\,\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\underbrace{ \frac{\mathrm{F}(\mathbf{v},\mathbf{h})\,\mathrm{D}(\mathbf{h})\,\mathrm{G}(\mathbf{l},\mathbf{v})}{\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}\rangle} \,L_i(\mathbf{l}) \,\langle\mathbf{v} \cdot \mathbf{h}\rangle \,\sin(\theta_h)}_{\mathrm{f}(\theta_h, \phi_h)} \, d\theta_h \, d\phi_h\\ &\approx \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \frac{\mathrm{f}(\theta_{h}, \phi_{h})}{\mathrm{p}(\theta_{h}, \phi_{h})}\\[1.5ex] &=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \frac{\frac{\mathrm{F}(\mathbf{v},\mathbf{h})\,\mathrm{D}(\mathbf{h})\,\mathrm{G}(\mathbf{l},\mathbf{v})}{\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}\rangle} \,L_i(\mathbf{l}) \,\langle\mathbf{v} \cdot \mathbf{h}\rangle \,\sin(\theta_h)}{\mathrm{D}(\mathbf{h}) \cos(\theta_h) \sin(\theta_h)}\\[1.5ex] &= \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \frac{\mathrm{F}(\mathbf{v},\mathbf{h})\,\mathrm{G}(\mathbf{l},\mathbf{v}) \,\langle\mathbf{v} \cdot \mathbf{h}\rangle}{\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{h}\rangle\,\,\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}\rangle} \,L_i(\mathbf{l})\\ \end{align}$

• Insgesamt ergibt sich somit:
  $\begin{align}L_{o,s}(\mathbf{v}) &\approx \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \frac{\mathrm{F}(\mathbf{v},\mathbf{h})\,\mathrm{G}(\mathbf{l},\mathbf{v}) \,\langle\mathbf{v} \cdot \mathbf{h}\rangle}{\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{h}\rangle\,\,\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}\rangle} \,L_i(\mathbf{l})\\ \end{align}$
  mit $\mathbf{h} = \begin{pmatrix}\sin(\theta_h) cos(\phi_h) \\ \sin(\theta_h) \sin(\phi_h)\\ \cos(\theta_h)\end{pmatrix}$  und   $\mathbf{l} = \operatorname{reflect}(-\mathbf{v}, \mathbf{h})$
  wobei $\phi_h = 2 \pi \,h_2(n)$ und $\theta_h = \arccos\left(\sqrt{\frac{1 - h_3(n)}{h_3(n) (\alpha^2-1) + 1} }\right)$
  und $\operatorname{reflect}$ der GLSL Funktion reflect entspricht:
  $\operatorname{reflect}(\mathbf{i}, \mathbf{n}) = \mathbf{i} - 2 \,(\mathbf{i}^\top \mathbf{n}) \, \mathbf{n}$

• Das Verhalten bei der Transmission soll dem des spekularen Anteils bei der Reflexion entsprechen
• Insofern kann die gleiche Sampling-Verfahren, wie bei der Reflexion verwendet werden, nur dass $\mathbf{l}$ sich nun durch Refraktion der Sichtrichtung $\mathbf{v}$ am Halbvektor $\mathbf{h}$ ergibt:
  $\begin{align}L_{o,t}(\mathbf{v}) &\approx \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \frac{(1 - \mathrm{F}(\mathbf{v},\mathbf{h}))\,\mathrm{G}(\mathbf{l},\mathbf{v},\mathbf{h}) \,\langle\mathbf{v} \cdot \mathbf{h}\rangle}{\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{l}\rangle\,\,\langle\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}\rangle} \,L_i(\mathbf{l})\\ \end{align}$
  mit $\mathbf{h} = \begin{pmatrix}\sin(\theta_h) cos(\phi_h) \\ \sin(\theta_h) \sin(\phi_h)\\ \cos(\theta_h)\end{pmatrix}$  und   $\mathbf{l} = \operatorname{refract}(-\mathbf{v}, \mathbf{h}, \eta)$
  wobei $\phi_h = 2 \pi \,h_2(n)$ und $\theta_h = \arccos\left(\sqrt{\frac{1 - h_3(n)}{h_3(n) (\alpha^2-1) + 1} }\right)$
  und $\operatorname{refract}$ der GLSL Funktion refract entspricht

• [Phong 1975] Bui-T. Phong: Illumination for computer generated pictures. Communications of the ACM, 18(6):311-317, June 1975
• [Blinn 1977] James F. Blinn: Models of light reflection for computer synthesized pictures. SIGGRAPH 1977, pp. 192-198, July 1977
• [Cook Torrance 1981] R. L. Cook and K. E. Torrance: A reflectance model for computer graphics. TOG 1(1):7-24, Jan. 1981.
• [Disney 2012] Brent Burley: Physically Based Shading at Disney SIGGRAPH 2012 Course: Practical Physically Based Shading in Film and Game Production
• [Disney 2015] Brent Burley: Extending the Disney BRDF to a BSDF with Integrated Subsurface Scattering, SIGGRAPH 2015 Course: Practical Physically Based Shading in Film and Game Production
• [Unreal Engine 2013] Brian Karis: Real Shading in Unreal Engine 4, SIGGRAPH 2013 Course: Physically Based Shading in Theory and Practice
• [Frostbite 2014] S. Lagarde, C. de Rousiers: Moving Frostbite to PBR, SIGGRAPH 2014 Course: Physically Based Shading in Theory and Practice

• [Schlick 1994] Christophe Schlick: An Inexpensive BRDF Model for Physically-Based Rendering. Computer Graphics Forum, 13 (3), 233–246, 1994.
• [Walter 2005] B. Walter: Notes on the Ward BRDF. Technical report PCG-05-06, Cornell University
• [Walter et al. 2007] B. Walter, S. R. Marschner, H. Li, K. E. Torrance: Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces. Eurographics Symposium on Rendering, 2007.
• [Smith 1967] B. Smith: Geometrical shadowing of a random rough surface. IEEE Transactions on Antennas and Propagation 15(5):668-671, Sep. 1967