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Notation

Typ Schriftart Beispiele
Variablen (Skalare) kursiv $a, b, x, y$
Funktionen aufrecht $\mathrm{f}, \mathrm{g}(x), \mathrm{max}(x)$
Vektoren fett, Elemente zeilenweise $\mathbf{a}, \mathbf{b}= \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = (x, y)^\top,$ $\mathbf{B}=(x, y, z)^\top$
Matrizen Schreibmaschine $\mathtt{A}, \mathtt{B}= \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$
Mengen kalligrafisch $\mathcal{A}, \{a, b\} \in \mathcal{B}$
Zahlenbereiche, Koordinatenräume doppelt gestrichen $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3$

Licht

  • Licht ist eine gequantelte, elektromagnetische Welle
  • Der sichtbarer Bereich liegt zwischen 380 bis 770nm
  • Die Farbe des sichtbaren Lichtes entspricht seiner Wellenlänge
  • Lichtquellen senden häufig ein breites Spektrum aus. Durch die Überlagerung vieler Frequenzen erscheint das Licht weiß (z.B. Tageslicht)
light_wavelength

Lichtwahrnehmung durch das menschliche Auge

lightpaths
  • Licht wird von eine Lichtquelle emittiert
  • Einige Lichtstahlen treffen evt. direkt ins Auge andere werden zunächst an einer Objektoberfläche reflektiert
  • Bei der Reflektion an der Objektoberfläche wird typischerweise ein Teil des Lichts absorbiert, d.h. das Licht verändert seine Farbe
  • Treffen die Lichtstrahlen ins Auge, werden Rezeptoren auf der Netzhaut aktiviert und im Gehirn formt sich ein Bild

Farbwahrnehmung: Dreifarbentheorie

Beim Menschen gibt es zwei Systeme von Lichtsinneszellen:

  • System 1: Stäbchen, die ausschließlich auf Hell-Dunkel-Kontraste reagieren
  • System 2: Drei Arten von Farbrezeptoren
    • L-Zapfen
      wavelength_human_eye
      Wellenlänge
      Normalisierte Absorption
    • M-Zapfen
    • S-Zapfen
Datenquelle für Abbildung: J. K. Bowmaker, H. J. A. Dartnall: Visual pigments of rods and cones in a human retina., The Journal of Physiology, Volume 298, Issue 1, Jan. 1980

Farbräume

rgb_add
RGB-Farbmodell
  • Ein Farbraum umfasst alle Farben, die innerhalb des Farbmodells darstellbar sind
  • In dieser Vorlesung wird ausschließlich der additive RGB-Farbraum (Rot, Grün, Blau) verwendet
  • Es gibt aber auch zahlreiche andere Formate, wie z.B.

Rendering-Gleichung Grundlagen: Raumwinkel

steradian
$r$
$r^2$
$\Omega=1\,\mathrm{sr}$
solidangle
  • Der Raumwinkel $\Omega$ einer beliebigen Fläche $A$ entspricht dem Quotienten der Fläche $S$, die sich ergibt, wenn $A$ auf eine Kugel vom Radius $r$ projiziert wird, und $r^2$:

    $\Omega = \int\limits_{\omega}d\omega = \frac{S}{r^2}$

  • Obwohl der Raumwinkel eine dimensionslose Größe ist, wird er zur Verdeutlichung in der Einheit "Steradiant" $\mathrm{sr}$ angegeben
  • Der Raumwinkel einer Fläche mit konstanter Größe nimmt quadratisch mit dem Abstand vom Kugelzentrum ab
  • Beispiel: Ein Raumwinkel von $\Omega=1\,\mathrm{sr}$ umschließt auf einer Kugel mit dem Radius $1\,\mathrm{m}$ eine Fläche von $1\,\mathrm{m}^2$. Die selbe Fläche bei doppeltem Radius ergibt $\Omega=\frac{1}{4}\,\mathrm{sr}$
  • Zwischen dem differentiellen Raumwinkel $d\omega$ und den Kugelkoordinaten $\theta$ und $\phi$ besteht der Zusammenhang:

    $\Omega = \int\limits_{\omega}d\omega = \int\limits_{\omega}d\theta(\sin \theta \, d\phi)= \int\limits_{\omega}\sin \theta \, d\theta \, d\phi$

Rendering-Gleichung Grundlagen: Strahlungsfluss

luminous_flux
  • Strahlungsfluss $\Phi$ (radiant flux)
  • Strahlungsfluss =
    Strahlungsenergie pro Zeit

    $\Phi = \frac{dQ}{dt} \approx \frac{\Delta Q}{\Delta t}$

  • Einfache Anschauung:
    • Jedes Photon hat die Energie $E_{\small\mathrm{photon}}=\frac{h \, c}{\lambda}$ mit
      $h$: Plancksches Wirkungsquantum
      $c$: Lichtgeschwindigkeit
      $\lambda$: Wellenlänge
    • Strahlungsfluss = Summe der Photonen-Energien, die pro Zeitraum $\Delta t$ emittiert werden
  • Einheit: Watt $[\mathrm{W}] = [\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}}]$

Rendering-Gleichung Grundlagen: Strahlstärke

luminous_intensity
  • Strahlstärke $I$ (radiant intensity)
  • Strahlstärke = Strahlungsfluss pro Raumwinkel
    $I = \frac{d\Phi}{d\omega} \approx \frac{\Delta \Phi}{\Delta \omega}$
  • Strahlstärke = Summe der Photonen-Energien, die pro Zeit und Raumwinkel emittiert werden
  • Einheit: Watt pro Steradiant $[\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{sr}}]$
  • Wird z.B. benötigt, wenn die Lichtquelle nicht in alle Richtung gleich stark abstrahlt

Rendering-Gleichung Grundlagen: Bestrahlungsstärke

illuminance
  • Bestrahlungsstärke $E$ (irradiance)
  • Bestrahlungsstärke = Strahlungsfluss pro Flächenelement

    $E = \frac{d\Phi}{dA} \approx \frac{\Delta \Phi}{\Delta A}$

  • Der Strahlungsfluss kommt dabei aus allen Richtungen der Hemisphäre über der Fläche
  • Einheit: Watt pro Quadratmeter $[\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2}]$
  • Einfache Anschauung: einfallende Photonen-Energien pro Zeit pro Flächenelement

Rendering-Gleichung Grundlagen: Strahldichte

luminance
  • Strahldichte $L$ (radiance)
  • Strahldichte = Strahlungsfluss pro Raumwinkel und sichtbarer Fläche

    $L = \frac{d^2\Phi}{d\omega\, \cos(\theta) \,dA} \approx \frac{\Delta \Phi}{\Delta \omega\, \cos(\theta) \,\Delta A}$

  • Die aus Richtung $\theta$ gesehene Fläche erscheint um den Faktor $\cos(\theta)$ verkürzt
  • Anwendung:
    • Entspricht der beobachteten Helligkeit
    • Strahlungsfluss in Richtung Auge
    shorter
    $\theta$
    $\theta$
    $\Delta A$
    $\cos(\theta) \,dA$
  • Einfache Anschauung: Photonen-Energien pro Zeit, Raumwinkel und sichtbarem Flächenelement
  • Einheit: Watt pro Steradiant pro Quadratmeter $[\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{sr}\, \mathrm{m}^2}]$

Rendering-Gleichung (Rendering Equation)

  • Die Rendering-Gleichung berechnet die reflektierte Strahldichte $L_o(\mathbf{v})$ im Oberflächenpunkt $\mathbf{x}$ mit Normale $\mathbf{n}$ in Richtung $\mathbf{v}$ durch Integration über die Anteile aller eingehenden Strahldichten $L_i(\mathbf{l})$ der Hemisphäre über der Oberfläche

    $L_o(\mathbf{v}) = L_e(\mathbf{v}) + \int\limits_\Omega \mathrm{f}_r(\mathbf{v}, \mathbf{l})\, \, \underbrace{L_i(\mathbf{l}) \cos(\theta) \, d\omega}_{dE(\mathbf{l})}$

render_eqn
$\mathbf{x}$
$\theta$
$L_i(\mathbf{l})$
$L_o(\mathbf{v})$
$\Omega$
$\mathbf{n}$
  • $L_o(\mathbf{v})$ ausgehende Strahldichte
  • $L_e(\mathbf{v})$ ist die von der Fläche selbst emittierte Strahldichte
  • $L_i(\mathbf{l})$ eingehende Strahldichte
  • $E(\mathbf{l})$ Bestrahlungsstärke
  • $\mathrm{f}_r(\mathbf{v}, \mathbf{l})$ ist die sogenannte "Bidirectional Reflection Distribution Function" (BRDF)
  • $\Omega$ ist Gesamtheit aller Winkel der Hemisphäre über der Oberfläche

BRDF

BRDF (Bidirectional Reflection Distribution Function)

  • Die BRDF beschreibt den winkelabhängigen spektralen Reflexionsfaktor einer Oberfläche durch das Verhältnis von reflektierter Strahldichte $L_o$ zur einfallenden Bestrahlungsstärke $E$

    $\mathrm{f}_r(\mathbf{v}, \mathbf{l}) = \frac{ dL_o(\mathbf{v})} { dE(\mathbf{l})} $

  • Eingehende Richtung $\mathbf{l}$ und ausgehende Richtung $\mathbf{v}$ können jeweils mit den Winkeln $\theta$ und $\phi$ parametrisiert werden. Somit ist die BRFD eine 4-dimensionale Funktion
  • Durch die Angabe dieser 4D-Funktion ist die Reflexionseigenschaft einer Fläche sehr genau beschrieben

BRDF (Bidirectional Reflection Distribution Function)

  • Die "Form" der BRDF bestimmt die Reflexionseigenschaften einer Oberfläche
glossyTodiffuse
glossyTodiffuse

BRDF (Bidirectional Reflection Distribution Function)

  • Die BRDF eines bestimmten Materials kann gemessen und in einer 4D Tabelle abgelegt werden
  • Die Tabellen sind in Material-Datenbanken zu finden
  • 4D Tabellen benötigen viel Speicher und die Materialien lassen sich nicht direkt editieren
  • Daher werden in der Praxis meist parametrische BRDF Modelle verwendet (Phong, Blinn-Phong, Cook-Torrance usw.)

BRDF Eigenschaften

  • Immer positiv
    $\mathrm{f}_r(\mathbf{v}, \mathbf{l}) \ge 0 \quad \forall \, \mathbf{v}, \mathbf{l} \in \Omega$
  • Helmholtz Reziprozität:
    $\mathrm{f}_r(\mathbf{v}, \mathbf{l}) = \mathrm{f}_r(\mathbf{l}, \mathbf{v})$
    d.h. eingehende und ausgehende Richtungen können vertauscht werden
  • Energieerhaltung:
    $\int\limits_\Omega \mathrm{f}_r(\mathbf{v}, \mathbf{l})\, \cos(\theta) d\omega \le 1$

Gibt es Fragen?

questions

Anregungen oder Verbesserungsvorschläge können auch gerne per E-Mail an mich gesendet werden: Kontakt

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