Multimediale Signalverarbeitung
Faltung und Impulsantwort

Signal

digitalisiertes Signal

Zeit

• Durch zeitliche Abtastung und Quantisierung (Rundung) kann ein analoges Signal in ein digitales Signal umgewandelt werden
• Der Vorteil von digitalen Signalen ist, dass sie leicht mit einem digitalem Signalprozessor oder einem Computer verarbeitet werden können

$x(t)$

$x[n]$

Zeit $t$

• Mathematisch ausgedrückt: Das analoge Zeitsignal $\mathrm{x}(t)$ wird bei der Abtastung umgewandelt in ein zeitdiskretes Signal $\mathrm{x}[n]$ mit $n \in \mathbb{Z}$
• Da $n$ ein Element aus der Menge der ganzen Zahlen ist, ist die Funktion $\mathrm{x}[n]$ immer zeitdiskret
• Eine genauere Beschreibung der Abtastung folgt in späteren Kapiteln

• Von sehr großer Bedeutung ist u.a. die so genannte Einheitsimpulsfolge oder auch kurz "Einheitsimpuls"
  $\mathrm{\delta}[n] = \begin{cases} 1 & \,\,:\,\, n = 0 \\ 0 & \,\,:\,\, n \ne 0 \\ \end{cases}$

$\mathrm{\delta}[n]$

$n$

• Die Bezeichnung mit $\mathrm{\delta}[n]$ ergibt sich, da das äquivalente Signal in der analogen Signalverarbeitung der Dirac-Impuls $\mathrm{\delta}(t)$ ist

• Der Einheitssprung $\mathrm{u}[n]$ ist definiert als:
  $\mathrm{u}[n] = \begin{cases} 1 & \,\,:\,\, n \ge 0 \\ 0 & \,\,:\,\, n \lt 0 \\ \end{cases}$

$\mathrm{u}[n]$

$n$

• Gibt es einen mathematischen Zusammenhang zwischen dem Einheitssprung und dem Einheitsimpuls?
• Ja, die Integration (bzw. im zeitdiskreten Fall die Summation):
  $\mathrm{u}[n] = \sum\limits_{i=-\infty}^n \mathrm{\delta}[i]$

• Ein zeitdiskreter Rechteckpuls mit der Pulsweite $P$ wird generiert durch:
  $\mathrm{x}[n] = \begin{cases} 1 & \,\,:\,\, |n| < P/2 \\ 0.5 & \,\,:\,\, |n|=P/2 \\ 0 & \,\,:\,\, |n|> P/2 \\ \end{cases}$
• Die Abbildung zeigt einen Rechteckpuls mit Pulsweite $P=9$:

$\mathrm{x}[n]$

$n$

• Der Fall $|n| = P/2$ kann nur für gerade $P$ auftreten, z.B. $P=10$. In diesem Fall sorgt der Werte $0.5$ dafür, dass die Pulsweite immer noch $P$ ist.

• Einen zeitdiskreter Gauss-Puls mit der Standardabweichung $\sigma$ wird generiert durch:
  $\mathrm{x}[n] = e^{- 0.5 \, (n / \sigma)^2} $
• Die Abbildung zeigt einen Gauss-Puls mit Standardabweichung $\sigma=4$:

$\mathrm{x}[n]$

$n$

• Einen zeitdiskreter Dreieckpuls mit der Pulsweite $P$ wird generiert durch:
  $\mathrm{x}[n] = \begin{cases} 1.0 - 2.0 \, (n / P) & \,\,:\,\, |n| \le P/2 \\ 0 & \,\,:\,\, |n| > P/2 \\ \end{cases}$
• Die Abbildung zeigt einen Dreieckpuls mit Pulsweite $P=9$:

$\mathrm{x}[n]$

$n$

• Ein zeitdiskretes Sinus-Signal kann z.B. wie folgt generiert werden:
  $\mathrm{x}[n] = A \sin\left(2\pi\frac{n+M}{W}\right) $
• Die Abbildung zeigt eine Sinus-Schwingung für die Wellenlänge $W=16$, Verschiebung $M=0$ und Amplitude $A=1$:

$\mathrm{x}[n]$

$n$

• Eine zeitdiskrete Dreieck-Schwingung kann generierte werden durch:
  $\mathrm{x}[n] = A \left(2.0 \frac{(n+M) \, \bmod \, W}{W} - 1.0\right) $
  dabei bezeichnet $\bmod$ die Modulo-Operation.
• Die Abbildung zeigt eine Dreieck-Schwingung für die Wellenlänge $W=16$, Verschiebung $M=0$ und Amplitude $A=1$:

$\mathrm{x}[n]$

$n$

• Eine zeitdiskrete Rechteck-Schwingung kann generierte werden durch:
  $\mathrm{x}[n] = \begin{cases} A & :\quad (n+M) \, \bmod \, W \ge W /2 \\ -A & :\quad (n+M) \, \bmod \, W < W /2\\ \end{cases}$
• Die Abbildung zeigt eine Rechteck-Schwingung für die Wellenlänge $W=16$, Verschiebung $M=0$ und Amplitude $A=1$:

$\mathrm{x}[n]$

$n$

• Die zeitdiskrete Faltung zweier Signale $\mathrm{a}[n]$ und $\mathrm{b}[n]$ ist definiert durch:
  $\mathrm{f}[n] = \sum\limits_{k = -\infty}^{\infty} \mathrm{a}[k] \, \,\mathrm{b}[n-k]$
• Zur Berechnung von $\mathrm{f}[n]$ muss die Summe für verschiedene $n$ ausgewertet werden. Dazu wird das Signal $\mathrm{b}$ an der $y$-Achse gespiegelt und anschließend jeweils um $n$ nach rechts verschoben.
• D.h. die Summe wird jeweils für unterschiedliche Verschiebungen $n$ des gespiegelt Signals $\mathrm{b}$ berechnet
• Für die verkürzte Schreibweise der Faltung wird häufig der Operator "$\ast$" verwendet:
  $\mathrm{f}[n] = \mathrm{a}[n] \ast \mathrm{b}[n] = \sum\limits_{k = -\infty}^{\infty} \mathrm{a}[k] \, \,\mathrm{b}[n-k]$

• Kommutativität
  $\mathrm{a}[n] \ast \mathrm{b}[n] = \mathrm{b}[n] \ast \mathrm{a}[n]$
• Assoziativität
  $\mathrm{a}[n] \ast (\mathrm{b}[n] \ast \mathrm{c}[n]) = (\mathrm{a}[n] \ast \mathrm{b}[n] ) \ast \mathrm{c}[n]$
• Distributivität
  $\mathrm{a}[n] \ast (\mathrm{b}[n] + \mathrm{c}[n]) = \mathrm{a}[n] \ast \mathrm{b}[n] + \mathrm{a}[n] \ast \mathrm{c}[n]$

$\mathrm{f}[n] = \sum\limits_{k = -\infty}^{\infty} \mathrm{a}[k] \, \,\mathrm{b}[n-k]$

$\mathrm{a}[k]$

$\mathrm{b}[k]$

$\mathrm{c}[n]$

$\mathrm{f}[n] = \sum\limits_{k = -\infty}^{\infty} \mathrm{a}[k] \, \,\mathrm{b}[n-k]$

Konstruktion:

$\mathrm{a}[k]$

$\mathrm{b}[0-k]$

$\mathrm{a}[k]$

$\mathrm{b}[1-k]$

$\mathrm{f}[0]$

$\mathrm{f}[n]$

$\mathrm{f}[1]$

$\mathrm{f}[n]$

$\mathrm{f}[n] = \sum\limits_{k = -\infty}^{\infty} \mathrm{a}[k] \, \,\mathrm{b}[n-k]$

Konstruktion:

$\mathrm{b}[5-k]$

$\mathrm{b}[7-k]$

$\mathrm{f}[5]$

$\mathrm{f}[7]$

• Lineare zeitinvariate Systeme (LZI-Systeme) oder auch Englisch "linear time invariant systems" (LTI systems) müssen folgende Eigenschaften erfüllen:
  • Linearität: Sei $\mathrm{y}[n]_k$ die Reaktion des Systems auf die Eingangsfolge $\mathrm{x}[n]_k$. So gilt für die Linearkombination von Eingangssignalen
    $\mathrm{x}[n] = s_1 \, \mathrm{x}[n]_1 + s_2 \, \mathrm{x}[n]_2 + s_3 \, \mathrm{x}[n]_3 + \dots$
    dass die Reaktion des System lautet
    $\mathrm{y}[n] = s_1 \, \mathrm{y}[n]_1 + s_2 \, \mathrm{y}[n]_2 + s_3 \, \mathrm{y}[n]_3 + \dots$
    oder anders geschrieben mit $\mathrm{y}[n]_k = \mathrm{S}\left(\mathrm{x}[n]_k\right)$:
    $\mathrm{S}\left(\sum\limits_k \, s_k \mathrm{x}[n]_k\right) = \sum\limits_k s_k \, \mathrm{S}\left(\mathrm{x}[n]_k\right)$
  • Zeitinvarianz: Eine Verschiebung der Eingangsfolge um $M$ bewirkt immer eine entsprechende Verschiebung der Ausgangsfolge:
    $\mathrm{S}\left(\mathrm{x}[n+M]\right) = \mathrm{y}[n+M] \quad \forall \,M \in \mathbb{Z}$

• Die Impulsantwort $\mathrm{h}[n]$ eines LZI-Systemes ist definiert als die Reaktion auf die Einheitsimpulsfolge $\mathrm{\delta}[n]$:
  $\mathrm{h}[n] = \mathrm{S}\left(\mathrm{\delta}[n])\right) $
  mit
  $\mathrm{\delta}[n] = \begin{cases} 1 & \,\,:\,\, n = 0 \\ 0 & \,\,:\,\, n \ne 0 \\ \end{cases}$
• Beispielsweise:
  

  $n$

  $n$

  $\mathrm{\delta}[n]$

  $\mathrm{h}[n]$

  System

  $\mathrm{S}$

• Da für LZI-Systeme das Superpositionsprinzip gilt, ist die Impulsantwort $\mathrm{h}[n]$ ausreichend, um die Reaktion des Systems auf jede beliebige Eingabe zu ermitteln
• Jede Eingabefolge $\mathrm{x}[n]$ lässt sich mit Hilfe des Einheitsimpuls auch schreiben als
  $\mathrm{x}[n] = \sum\limits_k \mathrm{x}[k] \, \mathrm{\delta}[n-k]$
• Mit $\mathrm{h}[n] = \mathrm{S}\left(\mathrm{\delta}[n])\right) $ gilt aufgrund des Superpositionsprinzips für die Ausgangsfolge $\mathrm{y}[n]$ des Systems:
  $\begin{array}{ll} \mathrm{y}[n] & = \mathrm{S}\left(\sum\limits_k \mathrm{x}[k] \, \mathrm{\delta}[n-k] \right) \\ & = \sum\limits_k \mathrm{x}[k] \, \mathrm{S}\left(\mathrm{\delta}[n-k] \right) \\ & = \sum\limits_k \mathrm{x}[k] \, \mathrm{h}[n-k] \\ & = \mathrm{x}[n] \ast \mathrm{h}[n] \\ \end{array} $
• D.h. die Reaktion des Systems auf eine beliebige Eingabe kann durch die Faltung der Eingabefolge mit der der Impulsantwort ermittelt werden