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Notation

Typ Schriftart Beispiele
Variablen (Skalare) kursiv $a, b, x, y$
Funktionen aufrecht $\mathrm{f}, \mathrm{g}(x), \mathrm{max}(x)$
Vektoren fett, Elemente zeilenweise $\mathbf{a}, \mathbf{b}= \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = (x, y)^\top,$ $\mathbf{B}=(x, y, z)^\top$
Matrizen Schreibmaschine $\mathtt{A}, \mathtt{B}= \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$
Mengen kalligrafisch $\mathcal{A}, B=\{a, b\}, b \in \mathcal{B}$
Zahlenbereiche, Koordinatenräume doppelt gestrichen $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3$

Was passiert hier?

Oder hier?

Abtasttheorem

Abtasttheorem

  • Das Abtasttheorem besagt, wie ein analoges Signal abgetastet werden muss
  • Bei Einhaltung des Theorems kann das ursprüngliche Signal beliebig genau rekonstruiert werden
whitakker_kotelnikov_shannon
E. T. Whittaker
W. A. Kotelnikow
C. E. Shannon
Bildquelle: W. A. Kotelnikow von www.kremlin.ru (CC-BY), Wikipedia

Abtasten eines analogen Signals

sin_analog
Analoges Zeitsignal
Abtastwerte an diskreten Zeitpunkten
$\mathrm{f}(t)$
$t$
$\mathrm{f}_a[n]$
$n$

Abtasttheorem

  • Abtasttheorem: Ein analoges Signal muss mit einer Frequenz $F_a$ abgetastet werden, die größer ist als das Doppelte der maximalen Signalfrequenz $F_{\mathrm{max}}$
    $F_a > 2 \,F_{\mathrm{max}}$

Abtasttheorem

cos_sample_speed
$F_a = 5 \,F_{\mathrm{max}}\Rightarrow$ Abtasttheorem erfüllt
$F_a = \frac{5}{6} \,F_{\mathrm{max}}\Rightarrow$ Abtasttheorem nicht erfüllt
$F_a = \frac{5}{4} \,F_{\mathrm{max}}\Rightarrow$ Abtasttheorem nicht erfüllt
$F_a > 2 \,F_{\mathrm{max}}$

Beispiel: Audiosignal mit steigender Frequenz

chrip
  • Original: Frequenz von ca. 100 Hz bis 8000 Hz
  • Rekonstruktion nach Abtastung mit 8000 Hz

Mathematische Beschreibung des idealen Abtastvorganges

  • Abtastung eines analogen Signals mit der Frequenz $F_a = \frac{1}{T_a}$
    $\mathrm{x}_a(t) = \mathrm{x}(t) \, \mathrm{p}_s(t)\quad$ mit $\quad\mathrm{p}_s(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} T_a\, \delta(t - k \,T_a)$
func_sample_analog
$t$
$t$
$\mathrm{x}_a(t)$
$\mathrm{x}(t)$
$\mathrm{p}_s(t)$

Betrachtung im Frequenzbereich

  • Die Fouriertransformierte einer Diracfolge ist ebenfalls eine Diracfolge
    $\mathrm{p}_s(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} T_a\, \delta(t - k \,T_a) \quad \stackrel{\operatorname{FT}}{\longrightarrow} \quad \mathrm{P}_s(f) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(f - k \,F_a) $
  • damit folgt für die Fouriertransformierte von $\mathrm{x}_a(t)$
    $\begin{array}{lll} \mathrm{x}_a(t) = \mathrm{x}(t) \, \mathrm{p}_s(t) & \stackrel{\operatorname{FT}}{\longrightarrow} & \mathrm{X}_a(f) = \mathrm{X}(f) \ast \mathrm{P}_s(f)\\ \mathrm{x}_a(t) = \mathrm{x}(t) \, \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} T_a\, \delta(t - k \,T_a) & \stackrel{\operatorname{FT}}{\longrightarrow} & \mathrm{X}_a(f) = \mathrm{X}(f) \ast \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(f - k \,F_a)\\ && \mathrm{X}_a(f) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathrm{X}(f - k \,F_a) \end{array}$

Betrachtung im Frequenzbereich

time2spec
Eingangssignal
Spektrum des Eingangssignal
f
$\mathrm{x}(t)$
$\mathrm{X}(f)$
$t$
$-F_{\mathrm{max}}$
$F_{\mathrm{max}}$

Spektrum des abgetasteten Eingangssignals: $\mathrm{X}_a(f) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathrm{X}(f - k \,F_a)$

spec_copies
$\mathrm{X}_a(f)$
$-2\,F_a$
$-F_a$
0
$F_a$
$2\,F_a$

Rekonstruktion des analogen Signals durch Tiefpassfilterung

sample_reconstruct
$\mathrm{X}(f)$
$-F_{\mathrm{max}}$
$F_{\mathrm{max}}$
$f$
$\mathrm{X}_a(f)$
$-2\,F_a$
$-F_a$
$0$
$F_a$
$2\,F_a$
$f$
$\mathrm{H}(f)$
Tiefpass
$\mathrm{X}_a(f)$
$f$
$\mathrm{X}_r(f)$
$f$

Bei Einhaltung des Abtasttheorems: Perfekte Rekonstruktion des analogen Signals durch Tiefpassfilterung

sample_reconstruct_part
$\mathrm{H}(f)$
$\mathrm{X}_a(f) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathrm{X}(f - k \,F_a)$
$-2\,F_a$
$-F_a$
$0$
$F_a$
$2\,F_a$
$f$
$-F_{\mathrm{max}}$
$F_{\mathrm{max}}$
Tiefpass

Idealer Tiefpass: $\mathrm{H}(f) = \begin{cases} 1 & \,\,:\,\, |f| < F_{\mathrm{max}} \\ 0.5 & \,\,:\,\, |f| = F_{\mathrm{max}} \\ 0 & \,\,:\,\, |f| > F_{\mathrm{max}} \\ \end{cases}$

$\begin{array}{lll} \mathrm{X}_r(f) &=& \mathrm{H}(f) \, \mathrm{X}_a(f)\\ &=& \mathrm{H}(f) \, \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathrm{X}(f - k \,F_a)\\ &=& \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathrm{H}(f) \, \mathrm{X}(f - k \,F_a)\\ &=& \mathrm{X}(f) \quad \mathrm{wenn} \quad F_a > 2 \,F_{\mathrm{max}} \end{array}$

Bei Verletzung des Abtasttheorems: Aliasing

alias
$\mathrm{X}_a(f)$
$-F_{\mathrm{max}}$
$F_{\mathrm{max}}$
$f$
$\mathrm{X}_a(f)$
$-2\,F_a$
$-F_a$
$0$
$F_a$
$2\,F_a$
$\mathrm{X}_a(f)$
$f$
$\mathrm{X}_a(f)$
$-2\,F_a$
$-F_a$
$0$
$F_a$
$2\,F_a$
$\mathrm{H}(f)$
Tiefpass
$\mathrm{X}_a(f)$
$\mathrm{X}_r(f)$
$f$
$F_a > 2 \,F_{\mathrm{max}}$
$F_a \le 2 \,F_{\mathrm{max}}$
$F_a \le 2 \,F_{\mathrm{max}}$

Alias-Effekt: Wenn das Abtasttheorem verletzt wird, treten zusätzliche Frequenzen auf, die im Originalspektrum eventuell gar nicht vorhanden waren

Tiefpassfiltern vor der Abtastung des Eingangssignals hilft gegen Alias-Effekte

sampling_image_example
Tiefpass
Abtastung
Abtastung
Rekonstruktion
Rekonstruktion

Zusammenfassung: Abtasttheorem

  • Abtasttheorem: Ein analoges Signal muss mit einer Frequenz $F_a$ abgetastet werden, die größer ist als das Doppelte der maximalen Signalfrequenz $F_{\mathrm{max}}$
    $F_a > 2 \,F_{\mathrm{max}}$
  • Bei Einhaltung des Theorem kann das ursprüngliche Signal beliebig genau rekonstruiert werden
  • Für einige Anwendungen, z.B. bei digitalen Bildern, ist ein gewisses Maß an Alias-Effekten akzeptable und wird einer sehr starken Tiefpassfilterung vorgezogen

Gibt es Fragen?

questions

Anregungen oder Verbesserungsvorschläge können auch gerne per E-mail an mich gesendet werden: Kontakt

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