Technische Informatik
Logikgatter
Thorsten Thormählen
08. November 2022
Teil 3, Kapitel 3
Technische Informatik
| Benennung | Boolescher Ausdruck | Gattersymbol |
|---|---|---|
| Negation, NOT | $y = \lnot a = \overline{a}$ |  |
| Konjunktion, AND | $y = a \land b$ |  |
| Disjunktion, OR | $y = a \lor b$ |  |
| Äquivalenz | $y = a \leftrightarrow b$ |  |
| Antivalenz, XOR | $y = a \nleftrightarrow b$ |  |
| Sheffer-Funktion, NAND | $y = a \mathbin{\bar{\land}} b$ |  |
| Peirce-Funktion, NOR | $y = a \mathbin{\bar{\lor}} b$ |  |
| Benennung | Boolescher Ausdruck | Gattersymbol |
|---|---|---|
| negation, NOT | $y = \overline{a}$ |  |
| conjunction, AND | $y = a \cdot b = ab$ |  |
| disjunction, OR | $y = a + b$ |  |
| equivalence, (E)XNOR | $y = a \equiv b = \overline{a \oplus b}$ |  |
| exclusive disjunction, (E)XOR | $y = a \oplus b$ |  |
| NAND | $y = \overline{a \cdot b} = \overline{ab}$ |  |
| NOR | $y = \overline{a + b}$ |  |
- Um aus mehreren Gattern Schaltnetze aufzubauen, können Ein- und Ausgänge von Gattern mit durchgezogenen rechtwinklig verlaufenden Leitungen verbunden werden
- Bei einer rechtwinkligen Verzweigung wird davon ausgegangen, dass eine Verbindung zwischen den Leitungen besteht
- Dies kann zusätzlich mit einem ausgefüllten Punkt verdeutlicht werden
- Um verbundene Kreuzungen zu kennzeichnen, ist der ausgefüllte Punkt unbedingt erforderlich, ansonsten werden die Leitungen als nicht verbunden interpretiert.
- Dass zwei sich kreuzende Leitungen nicht verbunden sind, kann zusätzlich durch einen Halbkreis verdeutlicht werden
- Sowohl Ein- als auch Ausgänge lassen sich invertieren, indem sie mit dem (nicht ausgefüllten) Negationskreis versehen werden.
- Beispiel: $y = \lnot(\lnot a \land b)$
- AND- und OR-Gatter können auch mehr als zwei Eingänge haben
- Ein OR-Gatter mit $n$ Eingängen realisiert den Ausdruck $y = x_1 \lor x_2 \lor \dots \lor x_n$
- Ein AND-Gatter mit $n$ Eingängen realisiert den Ausdruck $y = x_1 \land x_2 \land \dots \land x_n$
- Beispiel: $y = (a \lor b \lor c) \land \lnot d \land \lnot e $
CD4572UB
- Im folgenden wollen wir eine reale Schaltung aufbauen, die einige Logikgatter enthält
- Dazu verwenden wir den CMOS IC CD4572UB von Texas Instruments, der 4 Inverter, 1 NAND- und 1 NOR-Gatter bereitstellt
- Um die Zustände der Ein- und Ausgänge zu visualisieren, werden wir LEDs ("Light-Emitting Diodes") verwenden
- Bei bedrahteten LEDs ist die Kathode (−) das kürzere Bein und das längere Bein die Anode (+)
- Eine LED muss immer mit einem Vorwiderstand betrieben werden, der den Strom durch die LED einstellt
- Um die Größe des Widerstands zu berechnen, brauchen wir das ohmsche Gesetz
- Das ohmsche Gesetz macht eine Aussage über Spannung und Stromstärke an einem Widerstand:
- Spannung $U$: Kraft auf Ladungsträger, Einheit Volt $[\mathrm{V}]$
- Stromstärke $I$: durchfließende Ladungsträger pro Zeiteinheit, Einheit Ampere $[\mathrm{A}]$
- Das ohmsche Gesetz besagt, dass die Stromstärke $I$, die durch einen Widerstand $R$ fließt, proportional zu der
am Widerstand abfallenden Spannung $U$ ist
$U = R \cdot I \Leftrightarrow I = \frac{U}{R} \Leftrightarrow R = \frac{U}{I}$
- Widerstand $R$: Proportionalitätsfaktor zwischen Spannung und Stromstärke, Einheit Ohm $[\Omega]$
- Wie groß ist die Stromstärke $I$ in diesem Stromkreis?
- Antwort: $I = \frac{U}{R} = \frac{4,5 \,\mathrm{V}}{200\, \Omega} = 0,0225\,\mathrm{A} = 22,5\,\mathrm{mA}$
- Spannungsteiler
- Im oberen Stromkreis fließt überall der gleiche Strom $I_0$
- Damit gilt laut ohmschen Gesetz:
$I_0 = \frac{U_1}{R_1}$ und $I_0=\frac{U_2}{R_2}$ und $I_0= \frac{U_0}{R_1+R_2}$
-
Durch Umformung ergibt sich für das Verhältnis der Spannungen $U_1$ und $U_2$:
$\frac{U_1}{R_1} = \frac{U_2}{R_2} \Leftrightarrow \frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2}$
- Stromteiler
- Im unteren Stromkreis fällt an beiden Widerständen die gleich Spannung $U_0$ ab
- Damit ergibt sich für das Verhältnis der Stromstärken $I_1$ und $I_2$:
$U_0 = R_1 \cdot I_1 = R_2 \cdot I_2 \Leftrightarrow \frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1}$
- Dem Datenblatt der von uns eingesetzten LED kann entnommen werden, dass sie mit einem Strom von $I_0 = 20\,\mathrm{mA}$ betrieben werden soll. Laut Datenblatt fällt in diesem Fall $U_2 = 2,25\,\mathrm{V}$ über der LED ab.
-
Bei einer Spannungsversorgung mit $U_0=4,5\,\mathrm{V}$ ergibt sich somit für den Vorwiderstand $R_1$
$\begin{align} I_0 &= \frac{U_1}{R_1} = \frac{U_0 - U_2}{R_1} \\ \Leftrightarrow R_1 &= \frac{U_0 - U_2}{I_0} \\ &= \frac{4,5\,\mathrm{V} - 2,25\,\mathrm{V}}{20\,\mathrm{mA}} = 112,5\,\Omega \end{align} $
- Die Schaltung soll mit einer Steckplatine realisiert werden
- In den Spalten zur Spannungsversorgung ("+" bzw "-") sind die Steckplätze vertikal miteinander verbunden
- Ansonsten sind die Steckplätze horizontal miteinander verbunden, jeweils ("a" bis "e") und ("f" bis "j")
- Als Spannungsversorgung kommt eine 4,5 Volt Flachbatterie zum Einsatz
- Wenn der Taster offen ist, brennt die gelbe LED und die rote ist aus
- Wenn der Taster geschlossen ist, brennt die rote LED und die gelbe ist aus
- Beispielanwendung Alarmanlage: Taster ermittelt, ob Tür offen oder geschlossen ist; rote LED zeigt, Alarm ist eingeschaltet; gelbe LED alarmiert Wachdienst
- Die roten LEDs zeigen den Status der beiden Taster an
- Gelbe LED brennt nur dann nicht, wenn beide Taster geschlossen sind
- Beispielanwendung: Alarmanlage für zwei Fenster
- Inverter, NAND- und NOR-Gatter, wie sie im IC CD4572UB verwendet werden, können z.B. durch n-Kanal-Feldeffekt-Transistoren realisiert werden, die wir im Kapitel 1.2 "Historisches" kennengelernt haben
NOT
| $x$ | $z$ |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
NAND
| $x$ | $y$ | $z$ |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
NOR
| $x$ | $y$ | $z$ |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
- Durch den Widerstand entsteht jedoch eine relativ große Verlustleistung, daher wird bei der heutzutage vorherschenden CMOS-Technik mit p- und n-Kanal-Feldeffekt-Transistoren gearbeitet (auch der CD4572UB ist ein CMOS IC)
- Der n-Kanal-FET schaltet bei der logischen 1 durch, während der p-Kanal-FET bei der logischen 0 durchschaltet
NOT
NAND
NOR
Anregungen oder Verbesserungsvorschläge können auch gerne per E-mail an mich gesendet werden: Kontakt