Reelle Interpolationstheorie (WiSe 2018/19)
Dr. M. Hansen
Aktuelle Informationen
- Die Vorlesung nächsten Montag (11.02.) entfällt; am Mittwoch (13.02.) wird statt der Vorlesung ein Fragestunde stattfinden -- Sie können in dieser Zeit Fragen zu beliebigen Themen der Vorlesung stellen (notfalls auch darüber hinaus).
Es sei auch nochmals daran erinnert, dass Sie bitte zeitnah
- Ich musste leider gerade feststellen, dass die auf der Homepage der Arbeitsgruppe angegebene E-mail-Adresse veraltet war; während diese zwar noch immer funktioniert, überprüfe ich sie nur noch unregelmäßig.
Falls Sie mir also eine Mail geschrieben, darauf aber keine Antwort bekommen haben, so bitte ich Sie, mich erneut zu kontaktieren (diesmal mit der aktuellen Marburger Uni-Adresse).
- Eine Information zur elektronischen Anmeldung zur mündlichen Prüfung: Dies erfolgt im Modul "Kleines Vertiefungsmodul Numerik/Optimierung" (dies ist ein Sammelmodul für unregelmäßig gehaltene Spezialvorlesungen).
- Ich wünsche allen einen guten Start ins neue Jahr. Dazu finden Sie unten neben der aktualisierten Version des Skriptes jetzt auch eine gekürzte Variante: Zur Reduktion an Parametern wird dabei wie in der Vorlesung nur der
Fall von Banachräumen diskutiert; entsprechend ist auch der Abschnitt zur abstrakten Theorie wesentlich gekürzt; darüber hinaus habe ich in den Beweisen auch die (bisher stets separat abgehandelten) Fälle von
Grenzparametern (d.h. etwa q=unendlich) sowie eine Reihe von zusätzlichen Anmerkungen gestrichen.
- Für die mündliche Prüfung ist das gekürzte Skripte maßgeblich (bis einschließlich Abschnitt 4.1, Interpolation von Lp-Rämen; Termine innerhalb des Prüfungszeitraumes nach Vereinbarung).
- Nachdem die Vorlesungen letzten Mittwoch (28.11.) und Montag (03.12.) ausgefallen sind, werden die nächsten Vorlesungen ab Mittwoch (05.12.) wieder planmässig stattfinden. Ich entschuldige mich dafür, dass dies letzten
Mittwoch erst sehr kurzfristig bekanntgegeben wurde, und am heutigen Montag sogar ganz ohne Vorwarnung.
Termine
Die Veranstaltung findet während der Vorlesungszeit im Wintersemester 2018/19 zweimal wöchentlich in Form von Vorlesungen (4 SWS) statt:
- Mo 12.15-14 Uhr im Raum 03A20 (HS I A3 Mehrzweckgebäude Lahnberge)
- Mi 12.15-14 Uhr im Raum 03A20 (HS I A3 Mehrzweckgebäude Lahnberge)
Inhalt
Die Interpolationstheorie für Banachräume ist ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Teilgebieten der Mathematik, wie etwa der Approximationstheorie und Numerischen Analysis, Fourieranalysis, Theorie der Funktionenräume
sowie Partielle Differentialgleichungen (insbesondere für Operatorhalbgruppen), um nur einige zu nennen. In diesem Kurs sollen, ausgehend von den klassischen Interpolationssätzen von Riesz-Thorin und Marcinkiewicz,
zunächst die Grundlagen der Interpolationstheorie herausgearbeitet werden.
Der Grundgedanke lässt sich dabei wie folgt beschreiben: Falls eine lineare Abbildung beschränkt ist von A1 nach B1 sowie von A2 nach B2, so überträgt sich dies auf geeignete Räume "zwischen" A1 und A2 bzw. B1 und B2.
Der Fokus liegt dabei auf der Reellen Methode der Interpolation für Banach- und Quasi-Banachräume, basierend auf dem K-Funktional von Peetre, mit Anwendungen auf Folgenräume vom lp-Typ sowie Lp-Räume.
Inhalte:
- Interpolationssätze von Riesz-Thorin und Marcinkiewicz mit Anwendungen (Young'sche Faltungsungleichung, Hardy-Littlewood Maximalungleichung)
- Grundbegriffe der Interpolationstheorie
- Reelle Interpolationsmethoden nach Petree: K- und J-Methode
- Eigenschaften, Äquivalenz- und Reiterationssatz
- Anwendung auf Folgenräume vom lp-Typ
- Anwendungen in der Numerik:
- Funktionenräume vom Lp-, Sobolev- und Besov-Typ
- Approximationsräume
- (ggf. Grundzüge der Komplexen Methode mit Anwendungen)
Die Vorlesung wendet sich an Graduierte und Studierende höherer Semester (Mathematik/Wirtschaftsmathematik Master, ggf. Bachelor im 6. FS) und setzt Kenntnisse der Analysis im Umfang der Grundvorlesungen voraus. Zusätzliche Grundkenntnisse der Funktionalanalysis und der Maßtheorie sind wünschenswert.
Prüfung
- Voraussetzung für die Vergabe von Leistungspunkten (6 ECTS) ist eine mündliche Prüfung.
Literatur
Begleitend zur Vorlesung wird ein Skript veröffentlicht werden.
Der Kern der Vorlesung orientiert sich dabei an einem Skript, welches Prof. Dr. Dorothee D. Haroske (FSU Jena) im WiSe 2008/09 erstellt hat.
Zur weiteren Vertiefung kann folgende (Standard)Literatur herangezogen werden (eine vollständige Liste findet sich im Skript):
- Bergh, J., Löfström, J.: Interpolation Spaces - An Introduction. Springer, Berlin, 1976.
- Triebel, H.: Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. North-Holland, Amsterdam, 1978.
- Bennett, C., Sharpley, R.: Interpolation of operators. Academic Press, Boston, 1988.
Zuletzt aktualisiert: 30.01.2019 |
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