Der Kreisketten-Satz
von Steiner

(There is also an english version of this page.)

Worum geht es?

Im Propädeutikum Mathematik, das sich an Schüler und Schülerinnen der Oberstufe wendet, haben wir im Wintersemester 2000/2001 den schönen Kreiskettensatz von Steiner näher betrachtet. Die Aussage dieses Satzes ist ziemlich überraschend:

Falls es zwischen zwei gegebenen Kreisen eine geschlossene Kette von Berührkreisen gibt, dann gibt es nicht nur eine solche Kette, sondern gleich unendlich viele.

Kann man diesen Satz »in Aktion« sehen?

B. Schmitt hat die schöne gif-Animation erstellt, die sie unten sehen. Der innere und der äußere Kreis wurden so gewählt, dass es eine geschlossene Kreiskette zwischen ihnen gibt. Der Satz von Steiner garantiert uns nun, dass wir diese Kette »rotieren« lassen können.

Sehen Sie, wie die Kreise bei der Bewegung ihre Radien ändern? Wir können dennoch sicher sein, dass die Kette jederzeit geschlossen bleibt; sie kann zu keinem Zeitpunkt auseinanderbrechen - das sagt der Steinersche Satz voraus.

Visualization of Steiner's Theorem

Gibt es noch weitere schöne Sätze dieser Art?

Aber ja. Es gibt tatsächlich eine Fülle solcher »Schließungssätze«. Werfen Sie doch einen Blick auf den Satz von Poncelet -- er ist gewissermaßen der »Prototyp« aller geometrischen Schließungssätze.

Prof. Dr. Th. Bauer   Philipps-Universität Marburg   Fachbereich Mathematik und Informatik