Forschung in den letzten Jahren

__1 A. Schwarzer: Skalierungstechniken für $k-$bestimmte Verzweigungsprobleme und Iterationsprobleme für große dünn besetzte Eigenwertprobleme, Dissertation Fachbereich Mathematik, 1997.

2 A. Schwarzer: Adaptive scaling of solution branches of one parameter bifurcation problems, eingereicht bei Math. of Comp.,SP-Report 04/98.

3 A. Schwarzer: A new class of polynomial preconditioners for large sparse eigenvalue problems, eingereicht bei SIAM J. Numer. Anal., SP-Report 05/98.

4 Z. Mei: Numerical Bifurcation Analysis for Reaction-Diffusion-Equations, 378 Seiten Habilitationsschrift am Fachbereich Mathematik, Universität Marburg, 1997

5 Böhmer/ Geiger/ Rodriguez: On a numerical Liapunov-Schmidt spectral method, Part I: Review of spectral methods, SP-Report 41/1996.

6 Böhmer/ Geiger/ Rodriguez: On a numerical Liapunov-Schmidt spectral method Part II: The reduction method and its application, SP-Report 28/1997.

7 Böhmer/ Janovska/ Janovsky: A post-processing procedure for singularities of codimension $3$, Report in Vorbereitung

Böhmer, Mei, Schwarzer, Sebastian: Path-following for large bifurcation problems with iterative methods, to appear in IMA-Proceedings, Mineapolis, 1998, Vorläufige Version

9 Saßmannshausen: Numerische Ljapunov-Schmidt Methoden und Zentralmannigfaltigkeiten, Report in Vorbereitung

10 Garbotz: Numerische Verfahren zur Untersuchung der Dynamik der KS-Gleichung, Diplomarbeit, Report in Vorbereitung

11 Reaktions-Diffusions-Systeme partieller Differentialgleichungen

12 Böhmer: Numerical Liapunov-Schmidt method with applications to the van Karman equation, Report in Vorbereitung, erscheint in "`Computational Methods and Bifurcation Theory with Applications"', Spezialband zu "`Computermethods in Applied Mechanics and Engeneering"', zusammen mit Golubitsky, Guckenheimer, Dellnitz, und anderen

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 1) A. Schwarzer: Skalierungstechniken für $k-$bestimmte Verzweigungsprobleme und Iterationsprobleme für große dünn besetzte Eigenwertprobleme,Dissertation Fachbereich Mathematik, 1997, [37]:
Für Singularitäten nichtlinearer Gleichungssysteme sind numerische Verfahren entwickelt worden, die auf Grund der numerisch berechneten Information eine vollständige Klassifikation des jeweiligen Singularitätentyps zuläßt über die Verzweigungsfunktion $f$. Einsetzen von formalen Potenzreihen für Zustandsvariablen und Parameter in $f$ liefert für genügend glatte Situationen eine formale Potenzreihe, die zu anullieren ist. Mit geeigneten Skalierungsbedingungen ist das im wesentlichen durch einen iterierten, verallgemeinerten impliziten Funktionensatz möglich, auch für Fälle, die nicht mit den üblichen Klassifikationsschemata behandelbar sind.
Die zweite Hälfte der Dissertation ist den numerischen Verfahren gewidmet, die die für die Ljapunov-Schmidt- oder verallgemeinerte Ljapunov-Schmidt-Methoden nötigen Eigenwerte in der Nähe der imaginären Achse und deren Eigenvektoren berechnen. Hierfür werden für nichtnormale Ableitungsmatrizen Krylov-Methoden in einer Kombination mit Sorensonvarianten zur Eigenwertberechnung und Polynompräkonditionierern entwickelt. In einem ersten Schritt werden iterierte Ritz-Polynome bestimmt, die in einer genügend guten Approximation des Spektrums der Matrix betragsmäßig sehr kleine Werte annehmen. Durch Modifikation erhält man Polynome, die in der Nähe der imaginären Achse relativ große und für das restliche Spektrum betragsmäßig sehr kleine Werte annehmen. Das gelingt für die generische Situation von Bifurkationen mit nur wenigen Eigenwerten in der Nähe der imagiären Achse. Durch Kombination von Analysis und Algorithmen werden solche Polynome nachgewiesen. Abhängig von der Kondition des Problems, insbesondere der Eigenvektormatrix, kommt man mit relativ kleinen Polynomgraden aus oder muß gegebenenfalls zu relativ hohen Polynomgraden ausweichen. Numerische Ergebnisse an einer Vielzahl von ``Real-Life''-Problemen zeigen die Effizienz der Methoden.
Die beiden anschließenden Arbeiten fassen den ersten und zweiten Teil der Dissertation zusammen:

 2) A. Schwarzer: Adaptive scaling of solution branches of one parameter bifurcation problems, eingereicht bei Math. of Comp.,SP-Report 04/98 , [38].

 3) A. Schwarzer: A new class of polynomial preconditioners for large sparse eigenvalue problems, eingereicht bei SIAM J. Numer. Anal., SP-Report 05/98 , [39].

 4) Z. Mei: Numerical Bifurcation Analysis for Reaction-Diffusion-Equations, 378 Seiten Habilitationsschrift am Fachbereich Mathematik, Universität Marburg, 1997:
Dieses Buch liegt dem Springer-Verlag zur Publikation vor. Sie ist als Habilitationsschrift von der Fachbereichskommission auf Grund sehr guter Gutachten zur Annahme empfohlen worden.
Es werden Bifurkation und Dynamik in ein- und zwei Ortdimensionen im wesentlichen auf dem Quadrat untersucht. Besonders interessant sind Mode-Interactions: In Systemen mit genügend vielen Parametern schneiden sich singuläre Lösungskurven in isolierten Punkten. Die verschieden strukturierten (Eigen-)Lösungen der Ableitungsoperatoren erzeugen Musterbildungen und komplexe Bifurkationsszenarien mit Stabilitätswechseln. Diese Phänomene sind bis weit ins Detail hinein studiert und das komplexe Gebiet ist numerisch und analytisch dargestellt. Es werden die Grundlagen der Reaktions-Diffusions-Gleichungen, Fortsetzungsmethoden, Entdeckung und Berechnung von Bifurkationspunkten, Wechsel von Lösungskurven in solchen Punkten, Bifurkationsprobleme mit Symmetrie, Ljapunov-Schmidt-Methoden, Zentralmannigfaltigkeits-Methoden und Bifurkationsfunktionen für homokline Orbits zunächst eingeführt. Diese werden angewandt auf ein- und zweidimensionale auf Systeme von Reaktions-Diffusions-Gleichungen. Die verschiedenen Szenarien von stationären und Hopf-Bifurkation und mögliche Mode-Interactions werden zunächst präsentiert. Über Normalformen für Hopf-Verzweigungen werden dann die verschiedenen Mode-Interactions zwischen stationär-stationären und Hopf-stationären Verzweigungen, die Homotopie von Randbedingungen auf dem hier vor allem untersuchten Quadrat von Dirichlet- über Robin- zu Neumann-Bedingungen und die Bifurkation entlang solcher Homotopiepfade und entsprechenden Mode-Interactions studiert.

 5) Böhmer/ Geiger/ Rodriguez: On a numerical Liapunov-Schmidt spectral method, Part I: Review of spectral methods, SP-Report 41/1996 , [19]:
Zum Nachweis der Anwendbarkeit der numerischen Ljapunov-Schmidt-Methode, insbesondere der modifizierten Stabilität und der k-maligen konsistenten Differenzierbarkeit von Spektralmethoden wird zunächst in Part I eine geeignete allgemeine funktional-analytische Theorie für Spektralmethoden entwickelt. Die abhängigen Variablen genügen entweder periodischen oder nicht-periodischen Randbedingungen mit kontinuierlichen oder endlichen Symmetriegruppen bzw. ohne Symmetrie. Spektralmethoden sind in den letzten Jahren sehr intensiv untersucht worden. Insbesondere ist in Canuto/ Hussaini/ Quarteroni/ Zang [] eine allgemeine Theorie für lineare Probleme entwickelt worden. Diese Überlegungen werden in Part I verallgemeinert auf nichtlineare Probleme und die wichtigsten Methoden zur Behandlung nichtlinearer Operatorgleichungen.

 6) Böhmer/ Geiger/ Rodriguez: On a numerical Liapunov-Schmidt spectral method Part II: The reduction method and its application, SP-Report 28/1997 , [20]:
Teil II wendet die Theorie aus Teil I an zum Nachweis insbesondere der k-maligen konsistenten Differenzierbarkeit. Durch Kombination mit der iterierten (truncated) Ljapunov-Schmidt Methode, vgl. z.B. [11] gelingt es, k-bestimmte Probleme mit geeigneten Stabilitätseigenschaften so zu diskretisieren, daß die Bifurkationscharakteristika der Original-Operatorgleichungen in den diskreten Operatorgleichungen reproduziert werden.

 7) Böhmer/ Janovska/ Janovsky: A post-processing procedure for singularities of codimension $3$, Report in Vorbereitung:
Die Frage nach der Reduktion von Verzweigungsszenarien von Operatorgleichungen oder ihrer Diskretisierung durch Ljapunov-Schmidt Methoden auf die niederdimensionalen Verzweigungsgleichungen wurde vielfach untersucht. Die umgekehrte Fragestellung, aus dem Studium des Bifurkationsszenariums der niedrig dimensionalen Bifurkationsfunktion die Parameterbereiche im Originalproblem zu bestimmen, in denen sich die jeweiligen Bifurkationscharakteristika, z.B. Pitchfork-Verzweigung oder Hysteresis $(Katastrophen)-Effekte\; vorfinden,\; wurde\; bislang\; nur\; in\; Janovsky/Plechac\; []\; und\; in\; [22]\; diskutiert.\; Dort\; wurden\; codim$ 2$Fälle\; behandelt.\; In\; dem\; noch\; nicht\; ganz\; fertigen\; Report\; wird\; die\; o.g.\; Aufgabe\; für\; die\; praktisch\; wichtigsten\; Singularitäten\; der\; Kodimension$ 3$gelöst.\; Dazu\; wird\; im\; organisierenden\; Zentrum\; des\; Verzweigungsproblems\; die\; Frechet-Ableitung\; des\; Diffeomorphismus\; berechnet,\; der\; das\; Ausgangsproblem\; auf\; die\; reduzierte\; nicht\; entfaltete\; Normalform\; der\; Verzweigungsgleichung\; bijektiv\; abbildet.\; Das\; führt\; zu\; einer\; vernünftigen\; Approximation\; erster\; Ordnung\; der\; entsprechenden\; Verzweigungsdiagramme.$

 8) Böhmer, Mei, Schwarzer, Sebastian: Path-following for large bifurcation problems with iterative methods, to appear in IMA-Proceedings, Mineapolis, 1998, Vorläufige Version:
Aufbauend auf den allgemeinen Prinzipien für numerische Verfolgung von Lösungszweigen werden Krylov-Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme und Eigenwertprobleme und einige allgemeine Prinzipien der Präkonditionierung dargestellt. Diese Methoden werden dann angewandt auf Präkonditionierung mit Tschebyscheff Polynomen und iterierten Ritz Polynomen.

 9) Saßmannshausen: Numerische Ljapunov-Schmidt Methoden und Zentralmannigfaltigkeiten, Report in Vorbereitung:
Aufbauend auf seiner Diplomarbeit hat Saßmannshausen in der Zwischenzeit die für die numerischen Ljapunov-Schmidt Verfahren vor allem wichtige Eigenschaft der modifizierten Stabilität weiterentwickelt. Er hat Stummels diskrete Konvergenz []-[] durch einen sehr viel bekannteren Zugang ersetzt, die kompakten Störungen invertierbarer Operatoren. Er wählt die für Singularitäten geeigneten erweiterten Gleichungssysteme und diskretisiert sie für unendlich dimensionale Situationen durch Galerkin-Verfahren in reflexiven Banach-Räumen. Dadurch sind numerische Ljapunov-Schmidt Methoden auf eine wesentliche größere Klasse von Operatoren anwendbar geworden. Seine Ergebnisse decken allgemeine koerzive Bilinearformen im Sinne von Hackbusch [] ab bis hin zu erweiterten Sattelpunktproblemen, wie sie etwa beim Stokes-Operator auftreten. Eine direkte Anwendung dieser Ergebnisse ist die numerische Klassifikation von Singularitäten. Es werden mit Hilfe der verallg. Liapunov-Schmidt Methode über erweiterte Systeme sowohl im Kontinuierlichem als auch im Diskreten reduzierte Verzweigungsgleichungen hergeleitet, die im allgemeinen nicht mehr kontaktäquivalent sind. Es zeigt sich, daß sich die für die Klassifikation notwendigen Ableitungswerte der reduzierten Verzweigungsgleichung als Lösung eines linearen erweiterten Systems ergeben, wobei sich die Konvergenz der berechneten diskreten Lösungen gegen die exakten Lösungen zeigen läßt. Damit ist eine numerische Klassifikation mit Hilfe von bekannten Klassifikationsschemata (vgl. Golubitsky/Schaeffer [], Golubitsky/Stewart/Schaeffer []) möglich. Anwendungen dieser Überlegungen bei Zentralmannigfaltigkeiten sind in Vorbereitung, vgl. 3.2, b).

 10) Garbotz: Numerische Verfahren zur Untersuchung der Dynamik der KS-Gleichung, Diplomarbeit, Report in Vorbereitung:
Er hat für die parabolische Kuramoto-Sivashinski Gleichung durch Kombination von Differenzenverfahren in Orts- und Crank-Nicolson-Verfahren in $Zeitrichtungrelative\; homokline\; Orbits\; numerisch\; berechnet.\; Ausgangspunkt\; war\; die\; Berechnung\; hyperbolischer\; Gleichgewichtslösungen,\; zu\; denen\; verbindende\; Orbits\; existieren\; könnten.\; Da\; die\; bekannte\; Standard-Software\; z.B.\; AUTO\; [],\; []\; oder\; CONTENT\; []\; für\; partielle\; Differentialgleichungen\; kaum\; geeignet\; ist,\; mußte\; die\; entsprechende\; Software\; auf\; der\; Basis\; der\; bei\; uns\; verfügbaren\; Bausteine\; deutlich\; weiter\; entwickelt\; werden.\; Insbesondere\; wurden\; zur\; Berechnung\; verbindender\; Orbits\; Projektionsranbedingungen,\; vgl.\; Beyn\; [,],\; realisiert.\; Ein\; relativer\; homokliner\; Orbit\; wurde\; berechnet\; und\; symmetriebrechende\; Störungen\; untersucht,\; vgl.\; Chossat\; [],\; wobei\; fortschreitende\; Wellen\; und\; quasi-periodische\; Lösungen\; beobachtet\; worden\; sind.\; Der\; erste\; Versuch,\; diese\; Methoden\; auf\; allgemeinere\; PDGen\; zu\; übertragen,\; ist\; an\; der\; Größe\; der\; entstehenden\; nichtlinearen\; Gleichungssysteme\; gescheitert\; und\; wird\; mit\; anderen\; Methoden\; vgl.$3.2, a) weiter verfolgt.

 11) Reaktions-Diffusions-Systeme partieller Differentialgleichungen:
Im Rahmen der von der DFG finanzierten Forschungsaufgaben für Studenten, die dann in entsprechenden Diplomarbeiten (unbezahlt!) vertieft und ausgebaut worden sind, sind wir mit der Entwicklung eines Programmsystems für Bifurkationsszenarien (Kurvenverfolgung, Bestimmung stationärer und Hopfscher Bifurkationen und ihrer Klassifizierung, Verfolgung von singulären Kurven) sehr weit gekommen. Durch Einsatz von drei Monaten BAT IIa/2 (Garbotz) und 12 Monaten studentische Hilfskräfte könnte diese Software allgemein verfügbar gemacht werden, vgl. auch 2.3, g) und Zumammenarbeit Mei, Doedel, Friedman.

 12) Böhmer: Numerical Liapunov-Schmidt method with applications to the van Karman equation, Report in Vorbereitung, erscheint in "`Computational Methods and Bifurcation Theory with Applications"', Spezialband zu "`Computermethods in Applied Mechanics and Engeneering"', zusammen mit Golubitsky, Guckenheimer, Dellnitz, und anderen:
Es wird ein Überblick über die numerischen Ljapunov-Schmidt-Methoden gegeben. Unter Vermeidung zu komplexer Zusammenhänge wird die Entwicklung der numerischen Ljapunov-Schmidt-Methoden für verschiedene Operatorklassen und Diskretisierungsverfahren beschrieben. Anwendungen auf die für Ingenieurwissenschaften wichtigen van-Karman Gleichungen bieten den Bezug zum Thema des Spezialbandes.

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