Grafikprogrammierung
Kameras: Parallelprojektion

• Bei der Parallelprojektion werden die Objekte mit größerem Abstand zum Betrachter bzw. Kamera nicht kleiner
• Es existieren keine Fluchtpunkte

Perspektivische Projektion

Parallelprojektion

Projektionsstrahlen

Bildebene

$x$

$y$

$z$

$\tilde{\mathbf{P}}$

$\mathbf{P}$

• Die Projektionsstrahlen verlaufen parallel, d.h. das Projektionszentrum liegt im Unendlichen
• Die Projektionsvorschrift zur Abbildung eines 3D Punkts $\mathbf{P}=(p_x,p_y,p_z)^\top$ auf einen Punkt $\tilde{\mathbf{P}}= (\tilde{p}_x,\tilde{p}_y,\tilde{p}_z)^\top$ auf der Bildebene der Kamera lautet:

  $\tilde{\mathbf{P}}= \left(p_x, p_y, 0 \right)^\top$

• Bei Verwendung von homogenen Koordinaten kann die Parallelprojektion wieder als $4 \times 4$ Matrix geschrieben werden:

  $\begin{align}\underline{\tilde{\mathbf{P}}} & = \begin{pmatrix}p_x \\ p_y \\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}_{\mathtt{A}} \begin{pmatrix}p_x \\p_y \\ p_z\\ 1\end{pmatrix}\\ \underline{\tilde{\mathbf{P}}} &=\mathtt{A}\, \underline{\mathbf{P}} \end{align}$

• Die $x$-, $y$- und $z$- Koordinaten des Sichtvolumens sollen sich wieder jeweils in den Bereich $[-1;1]$ abbilden
• Um dies zu erreichen, werden pro Koordinate zwei neue Parameter $\alpha$ und $\beta$ in die lineare Transformationsmatrix hinzugefügt

$\mathtt{A}$

$x$

$y$

$z$

$x$

$y$

$z$

$\mathtt{A} = \begin{bmatrix} \alpha_x & 0 & 0 & \beta_x \\ 0 & \alpha_y & 0 & \beta_y \\ 0 & 0 & -\alpha_z & \beta_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

• Beispielweise, soll für die $z$-Koordinate der Punkte auf der Near-Ebene gelten:
  $p_z=-z_n \quad \mapsto \quad \tilde{p}_z=-1$
  und für Punkte auf der Far-Ebene:
  $p_z=-z_f \quad \mapsto \quad \tilde{p}_z=1$

$\underline{\tilde{\mathbf{P}}} = \begin{pmatrix}\alpha_x \, p_x + \beta_x \\ \alpha_y \, p_y + \beta_y \\ -\alpha_z \, p_z + \beta_z \\ 1\end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha_x & 0 & 0 & \beta_x \\ 0 & \alpha_y & 0 & \beta_y \\ 0 & 0 & -\alpha_z & \beta_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix}p_x \\p_y \\ p_z\\ 1\end{pmatrix} \in \mathbb{H}^3$

• Nun können $\alpha_z$ und $\beta_z$ aus den Bedingungen für die Abbildung der $z$-Koordinate bestimmt werden:
  $\begin{align}p_z=-z_n \,&\mapsto \, \tilde{p}_z=-1 \quad \Rightarrow \alpha_z \, z_n + \beta_z = -1 \\ p_z=-z_f \, &\mapsto \, \tilde{p}_z=\ 1 \,\,\, \,\quad \Rightarrow \alpha_z \, z_f + \beta_z = 1\end{align}$

$\mathtt{A}$

$x$

$y$

$z$

$x$

$y$

$z$

$x_r$

$x_l$

$y_t$

$y_b$

$z_n$

$z_f$

• Auflösen des Gleichungssystems nach $\alpha_z$ und $\beta_z$ liefert:

  $\begin{align} \alpha_z &= \frac{2}{z_f-z_n}\\ \beta_z & = -\frac{z_f + z_n}{z_f-z_n}\end{align}$

• Nach analogen Rechnungen für die $x$- und $y$-Koordinate, ergibt sich die Projektionsmatrix zu:

  $\mathtt{A} = \begin{bmatrix} \frac{2}{x_r-x_l} & 0 & 0 & -\frac{x_r + x_l}{x_r-x_l} \\ 0 & \frac{2}{y_t-y_b} & 0 & -\frac{y_t + y_b}{y_t-y_b} \\ 0 & 0 & \frac{-2}{z_f-z_n} & -\frac{z_f + z_n}{z_f-z_n} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{align} \mathtt{A} \mathtt{T}_{\mathrm{\small cam}}^{-1} & = \mathtt{A} \, \mathtt{T}_{r_x}(\beta) \, \mathtt{T}_{r_y}(\alpha)\\ & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0& \cos \beta & -\sin \beta& 0 \\ 0 & \sin \beta & \cos \beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 &1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & 0& \sin \alpha& 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 &\cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 &1 \\ \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha & 0 \\ \sin \beta \sin \alpha & \cos \beta & -\sin \beta \cos \alpha & 0\\ - \cos \beta \sin \alpha & \sin \beta & \cos \beta \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha & 0 \\ \sin \beta \sin \alpha & \cos \beta & -\sin \beta \cos \alpha & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{align}$

• Die Basisvektoren bilden sich damit wie folgt ab:

  $ \underline{\tilde{\mathbf{e}}}_x = \begin{pmatrix}\cos \alpha\\ \sin \beta \sin \alpha \\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix}, \quad \underline{\tilde{\mathbf{e}}}_y = \begin{pmatrix}0\\ \cos \beta \\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix}, \quad \underline{\tilde{\mathbf{e}}}_z = \begin{pmatrix}\sin \alpha\\ -\sin \beta \cos \alpha \\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix}$

• Somit können die Längen der abgebildeten Basisvektoren berechnet und die rechtwinklige Projektion in isometrisch, dimetrisch oder trimetrisch klassifiziert werden:

  $\begin{align} |\tilde{\mathbf{e}}_x| &= \sqrt{\cos^2\alpha + (\sin \beta \sin \alpha)^2}\\ |\tilde{\mathbf{e}}_y| &= \sqrt{\cos^2\beta}\\ |\tilde{\mathbf{e}}_z| &= \sqrt{\sin^2\alpha + (\sin \beta \cos \alpha)^2}\\ \end{align}$

$\mathbf{e}_x$

$\mathbf{e}_y$

$\tilde{\mathbf{e}}_z$

$\mathbf{e}_z$

Kavalierprojektion

Kabinettprojektion

1

1

1

1

1

0.5

$\alpha$

$\beta$

• Bei den schiefwinkligen Projektionen wird eine zusätzliche Scherung erlaubt
• Bei klassischen schiefwinkligen Projektionen werden meist zwei Koordinatenachsen durch die Abbildung nicht verändert und eine Scherung auf die dritte angewendet
• Die Projektionsrichtung dieser dritten Achse kann mit zwei Winkeln $\alpha$ und $\beta$ angegeben werden (siehe Zeichnung)
• Der Winkel $\alpha$ bleibt bei der Projektion erhalten und entspricht dem Winkel zwischen der projizierten $z$- und $x$-Achse. Der Winkel $\beta$ steuert den Maßstab:
  • Kavalierprojektion: $x:z=1:1$
  • Kabinettprojektion: $x:z=2:1$

• Allgemeine schiefwinklige Projektion:

  $\mathtt{A} \mathtt{T}_{\mathrm{\small cam}}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{-\cos \alpha}{\tan \beta} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{\sin \alpha}{\tan \beta} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-1}{\sin \beta} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{-\cos \alpha}{\tan \beta} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{\sin \alpha}{\tan \beta} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$