Stephan Dahlke - Aktuelle Forschungsinteressen

• Adaptive Quarklet-Verfahren für Operatorgleichungen
  

  Unter Quarklets versteht man neue Erzeugendessteme für Funktionenräume, welche mittels polynomieller Anreicherung klassischer Wavelet-Baseen erzeugt werden. Darauf aufbauende adaptive numerische Verfahren können als Wavelet-Analogon zu den bekannten hp-Verfahren im Kontext finiter Elemente interpretiert werden. Das Ziel ist die Entwicklung adaptiver Verfahren mit beweisbarer Konvergenzordnung, wobei im Idealfall eine exponentielle Ordnung angestrebt wird. Dieses Projekt wird in Kooperation mit Thorsten Raasch durchgeführt.

  
  

• Regularitätstheorie partieller Differentialgleichungen
  

  Dieses Forschungsprojekt wird motiviert durch die folgende Grundsatzfrage: In welchen Fällen bieten adaptive numerische Algorithmen tatsächlich Vorteile gegenüber nicht-adaptiven (uniformen) Verfahren? Die Konvergenzordnung nicht-adaptiver Verfahren wird im Allgemeinen durch die Regularität der exakten Lösung der zu Grunde liegenden Gleichung in der klassischen Sobolev-Skala bestimmt. Eine theoretische Analyse zeigt nun, dass im Gegensatz dazu die erzielbare Approximationsordnung für adaptive Verfahren durch die Regularität in nichtklassischen Glattheitsräumen, den Besov-Räumen, bestimmt wird. Um also sicherzustellen, dass für ein gegebenes Problem adaptive Verfahren hilfreich sein können, muss die Besov-Regularität der exakten Lösung untersucht werden. Die Forschungsschwerpunkte sind derzeit: Regularitätstheorie für nichtlineare elliptische partielle Differentialgleichunen Regularitätstheorie für parabolische partielle Diffenrentialgleichungen Dieses Projekt wird in Kooperation mit Winfried Sickel und Cornelia Schneider durchgeführt.

  
  

• Shearlet--Theorie und Anwendungen
  

  Unter Shearlets versteht man neue, affine Darstellungssysteme, die speziell zur Richtungsdetektion geeignet sind. Gegenüber anderen Darstellungssystemen wie Curvelets, Contourlets oder Ridgelets haben Shearlets den großen Vorteil, dass sie mit einer quadratintegrablen Darstellung einer speziellen lokalkompakten topologischen Gruppe, der vollen Shearlet-Gruppe, assoziiert sind. Dies ermöglicht die Anwendung schlagkräftiger Hilfsmittel der Harmonischen Analysis. (Mehr Informationen). Aktuelle Forschungsvorhaben sind: Konstruktion und Analyse von Shearlet-Coorbit-Räumen Analyse der Shearlet-Gruppen und ihrer Beziehungen zu anderen Gruppen Shearlet-Transformation auf Mannigfaltigkeiten Anwendungen der Shearlet-Transformation in der Bildanalyse Dieses Projekt wird gemeinsam mit Gabriele Steidl, Gerd Teschke, Ernesto de Vito und Filippo de Mari bearbeitet.

  
  

• Coorbit-Theorie
  

  Die Coorbit-Theorie wurde durch H. Feichtinger und K. Gröchenig begründet. Sie ermöglicht es, aufbauend auf quadratintegrablen Gruppendarstellungen neue Glattheitsräume zu konstruieren, wobei die Glattheit über den Abfall der assoziierten Voice Transform gemessen wird. Außerdem ist es im Rahmen der Coorbit-Theorie möglich, auf natürliche Weise atomare Zerlegungen und Banach-Frames für die neuen Glattheitsräume zu gewinnen. Zwei wichtige Spezialfälle sind die (homogenen) Besov-Räume und Modulationsräume, die als Coorbit-Räume bezüglich Darstellungen der affinen Gruppen bzw. der Weyl-Heisenberg-Gruppen interpretiert werden können. Im Mittelpunkt unserer Forschung stehen zur Zeit folgende Fragestellungen: Beziehungen zur Shearlet-Theorie, inhomogene Shearlet Coorbit Räume Verallgemeinerung der Coorbit-Theorie auf nichtintegrable Darstellungen Coorbit-Räume und Frames auf Mannigfaltigkeiten. Dieses Projekt wird gemeinsam mit Gabriele Steidl, Gerd Teschke, Ernesto de Vito und Filippo de Mari bearbeitet.