AG Numerik

Frühere Forschungsschwerpunkte

  • Konstruktion von Wavelets

    • Konstruktion interpolierender Skalierungsfunktionen
      Ziel des Projektes war die Konstruktion möglichst glatter und möglichst lokalisierter Skalierungsfunktionen und Wavelets für allgemeine Dilatationsmatrizen. Die Anzahl der benötigten Wavelets und damit die Komplexität der Algorithmen wird durch die Determinante der Dilatationsmatrix bestimmt. Man ist also an Matrizen mit möglichst kleiner Determinante interessiert. Für viele Anwendungen, etwa im CAGD, hat sich insbesondere die Verwendung interpolierender Skalierungsfunktionen als hilfreich erwiesen.
      Dieses Projekt wurde in Kooperation mit Karl-Heinz Gröchenig, Peter Maaß und Gerd Teschke bearbeitet.
      Poster: Two-Dimensional Interpolating Lagrange Wavelets


    • Dualsysteme für allgemeine Skalierungen
      Für interpolierende Skalierungsfunktionen kann eine Wavelet-Basis in Form einer verallgemeinerten hierarchischen Basis sofort angegeben werden. Aus Stabilitätsgründen ist dies jedoch nicht immer zweckmäßig. Um stabile Basen in Skalen von Funktionenräumen wie etwa den Sobolevräumen zu erhalten, werden geeignete Dualsysteme benötigt.
      An diesem Projekt arbeiten wir gemeinsam mit Peter Maaß und Gerd Teschke.
      Poster: Interpolationg Scaling Functions with Smooth Duals

  • Wavelet-Quadraturverfahren
    Setzt man Wavelet-Verfahren zur Signalanalyse bzw. zur numerischen Behandlung von Operatorgleichungen ein, so müssen früher oder später Integrale der Form
    \int_{\mathbb R}f(x)\psi(2^jx-k)\,dx
    berechnet werden. Ein naiver Zugang über Standard-Quadraturformeln würde hier nicht zum Ziele führen, da das Wavelet \psi im Allgemeinen nicht sehr glatt ist bzw. nicht explizit bekannt ist. In diesem Zusammenhang haben sich spezielle Quadraturformeln vom Gauß-Typ als sehr leistungsfähig erwiesen.
    Dieses Projekt wurde in Kooperation mit Arne Barinka, Titus Barsch und Michael Konik bearbeitet.


  • Wavelet-Verfahren zur Analyse von Radardaten
    Ziel jeder Radartechnik ist es, Informationen über ein Objekt mittels der Analyse von reflektierten Signalen zu erhalten. Für ein punktförmiges Objekt ist die Analyse noch recht einfach. Zusätzliche Schwierigkeiten treten allerdings auf, wenn das zu untersuchende Objekt aus einem ausgedehnten Medium, beschrieben durch eine Reflektionsdichte, besteht. Dann kann diese Dichte durch Aussenden eines einzelnen Signals nicht mehr rekonstruiert werden. Es liegt nun nahe, nicht nur ein einzelnes Signal, sondern eine Familie von Signalen auszusenden. Man kann zeigen, dass dieses Vorgehen eine vollständige Rekonstruktion ermöglicht, vorausgesetzt, dass die ausgesandten Signale ein Frame bilden.
    Dieses Projekt wurde in Kooperation mit Peter Maaß und Gerd Teschke bearbeitet.
    Poster: Reconstruction of Reflectivity Densities by Frame Techniques Poster: Reconstruction of Reflectivity Densities by Frame Techniques II