Frühere Forschungsschwerpunkte
- Konstruktion von Wavelets
- Konstruktion interpolierender Skalierungsfunktionen
Ziel des Projektes war die Konstruktion möglichst glatter und
möglichst lokalisierter Skalierungsfunktionen und Wavelets für
allgemeine Dilatationsmatrizen. Die Anzahl der benötigten Wavelets
und damit die Komplexität der Algorithmen wird durch die Determinante
der Dilatationsmatrix bestimmt. Man ist also an Matrizen mit möglichst
kleiner Determinante interessiert. Für viele Anwendungen, etwa im
CAGD, hat sich insbesondere die Verwendung interpolierender
Skalierungsfunktionen als hilfreich erwiesen.
Dieses Projekt wurde in Kooperation mit
Karl-Heinz Gröchenig,
Peter Maaß
und
Gerd Teschke
bearbeitet.
|
|
- Dualsysteme für allgemeine Skalierungen
Für interpolierende Skalierungsfunktionen kann eine Wavelet-Basis
in Form einer verallgemeinerten hierarchischen Basis sofort angegeben werden.
Aus Stabilitätsgründen ist dies jedoch nicht immer
zweckmäßig. Um stabile Basen in Skalen von Funktionenräumen
wie etwa den Sobolevräumen zu erhalten, werden geeignete Dualsysteme
benötigt.
An diesem Projekt arbeiten wir gemeinsam mit
Peter Maaß
und
Gerd Teschke.
|
|
- Wavelet-Quadraturverfahren
Setzt man Wavelet-Verfahren zur Signalanalyse bzw. zur numerischen
Behandlung von Operatorgleichungen ein, so müssen früher oder
später Integrale der Form
berechnet werden. Ein naiver Zugang über Standard-Quadraturformeln
würde hier nicht zum Ziele führen, da das Wavelet
im Allgemeinen nicht sehr glatt ist bzw. nicht explizit bekannt ist.
In diesem Zusammenhang haben sich spezielle Quadraturformeln
vom Gauß-Typ als sehr leistungsfähig erwiesen.
Dieses Projekt wurde in Kooperation mit
Arne Barinka,
Titus Barsch und
Michael Konik bearbeitet.
|
- Wavelet-Verfahren zur Analyse von Radardaten
Ziel jeder Radartechnik ist es, Informationen über ein Objekt mittels
der Analyse von reflektierten Signalen zu erhalten. Für ein
punktförmiges Objekt ist die Analyse noch recht einfach.
Zusätzliche Schwierigkeiten treten allerdings auf, wenn das zu
untersuchende Objekt aus einem ausgedehnten Medium, beschrieben durch
eine Reflektionsdichte, besteht. Dann kann diese Dichte durch Aussenden
eines einzelnen Signals nicht mehr rekonstruiert werden. Es liegt nun
nahe, nicht nur ein einzelnes Signal, sondern eine Familie von Signalen
auszusenden. Man kann zeigen, dass dieses Vorgehen eine vollständige
Rekonstruktion ermöglicht, vorausgesetzt, dass die ausgesandten Signale
ein Frame bilden.
Dieses Projekt wurde in Kooperation mit
Peter Maaß und
Gerd Teschke
bearbeitet.
|
|
|
|