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Dissertation and Habilitationsschrift

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            Algebraic Geometry
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This is a list of my publications, with mini-abstracts.
There is also a short version without mini-abstracts.

Most of my papers in Algebraic Geometry can also be found on the arXiv.
For my papers in Mathematics Education follow the links that are included in the list below.
You can also access most of my papers via my Google Scholar Page.

Books

1. Thomas Bauer: Analysis — Arbeitsbuch. Bezüge zwischen Schul- und Hochschulmathematik — sichtbar gemacht in Aufgaben mit kommentierten Lösungen. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2012, ISBN: 978-3-8348-1914-7 More information

2. Jürgen Roth, Thomas Bauer, Herbert Koch, Susanne Prediger (Eds.): Übergänge konstruktiv gestalten: Ansätze für eine zielgruppenspezifische Hochschuldidaktik. Springer Spektrum, Heidelberg, 2014. ISBN: 978-3-658-06726-7 Webseite beim Springer-Verlag

3. Thomas Bauer, Lisa Hefendehl-Hebeker: Mathematikstudium für das Lehramt an Gymnasien. Anforderungen, Ziele und Ansätze zur Gestaltung. Springer Spektrum, Heidelberg, 2019. ISBN: 978-3-658-26681-3 Webseite beim Springer-Verlag

4. Thomas Bauer: Verständnisaufgaben zur Analysis 1 und 2 -- für Lerngruppen, Selbststudium und Peer Instruction. Springer Spektrum, Heidelberg, 2019. ISBN: 978-3-662-59702-6 Webseite beim Springer-Verlag

Dissertation and Habilitationsschrift

1. Thomas Bauer:
   Linearsysteme auf Kummerflächen.
   Dissertation, Univ. Erlangen-Nürnberg, 1993.
2. Thomas Bauer:
   Seshadri constants on algebraic surfaces.
   Habilitationsschrift, Univ. Erlangen-Nürnberg, 1998.

Algebraic Geometry

Non-refereed Publications

1. Thomas Bauer:
   Zariski chambers and stable base loci. [preprint]
   In Y. Tschinkel (Ed.), Mathematisches Institut, Georg-August-Universität Göttingen: Seminars Summer Term 2004 (pp. 75-82). Universitätsdrucke Göttingen, 2004.
   • This expository paper reports on the work with Küronya and Szemberg on the big cone of algebraic surfaces, focusing on explaining the cone decomposition.

Refereed Papers

1. Thomas Bauer:
   Projective images of Kummer surfaces. [preprint] [published version]
   Math. Ann., 299, 155-170 (1994)
   • This paper provides projective embeddings for the Kummer surfaces associated with abelian surfaces of arbitrary polarization. The classically known special case is where the abelian surface is principally polarized.
2. Thomas Bauer, Wolf Barth:
   Smooth quartic surfaces with 352 conics. [preprint] [published version]
   Manuscripta math., 85, 409-417 (1994)
   • The main result of this paper is that there exist smooth quartic surfaces in P³ on which there are 352 smooth conics. Up to now the maximal number of conics that can lie on a smooth quartic surface is not known, so our number should be compared with 64, the maximal number of lines on smooth quartics.
3. Thomas Bauer, Tomasz Szemberg:
   Abelian threefolds in (P₂)³. [preprint] [published version]
   In W. Barth et al. (Eds.), Abelian Varieties (pp. 19-23). Walter de Gruyter, 1995.
   • This paper shows that the only abelian threefolds that can be embedded into P² x P² x P² are products E₁ x E₂ x E₃ of elliptic curves. This extends a result by Hulek for abelian surfaces in P² x P² and complements results by Birkenhake, who studied embeddings of abelian threefolds in products of two projective spaces.
4. Thomas Bauer:
   Quartic surfaces with 16 skew conics. [preprint] [published version]
   J. reine angew. Math., 464, 207-217 (1995)
   • This paper classifies smooth quartic surfaces in projective three-space containing 16 skew conics in terms of their abelian covers. As a consequence, it is shown that the Kummer surfaces of abelian surfaces with endomorphism ring Z[√7] embed into P³, and that the quartic surfaces obtained in this way contain exactly 432 smooth conics.
5. Thomas Bauer, Wolf Barth:
   Poncelet theorems. [arXiv]
   Exposition. Math., 14, 125-144 (1996)
   • This paper studies the beautiful geometry underlying classical and non-classical theorems of Poncelet-type from a modern unifying point of view.
6. Thomas Bauer, Tomasz Szemberg:
   On tensor products of ample line bundles on abelian varieties. [preprint] [published version]
   Math. Z., 223, 79-85 (1996)
   • The first result of this paper states that on an abelian variety a tensor product of two resp. three ample line bundles is globally generated resp. very ample. This generalizes the famous classical theorem of Lefschetz, which applies to the case of tensor powers of a single line bundle. The second part of the paper provides criteria for a tensor product of two ample line bundles to be very ample.
7. Thomas Bauer, Tomasz Szemberg:
   Higher order embeddings of abelian varieties. [preprint] [published version]
   Math. Z., 224, 449-455 (1997)
   • This paper provides criteria for a tensor product of ample line bundles on a abelian variety to be k-jet ample, i.e., to simultaneously generate jets of given order at a given number of points.
8. Thomas Bauer, Tomasz Szemberg:
   Primitive higher order embeddings of abelian surfaces. [preprint] [published version]
   Trans. Amer. Math. Soc., 349, 1675-1683 (1997)
   • To determine whether a given ample line bundle on an abelian surface satisfies a certain higher order embedding condition (k-very ampleness, k-jet ampleness) is hardest in the case where the class of the bundle is primitive. For surfaces with Picard number 1, this paper gives a complete result for such bundles.
9. Thomas Bauer:
   Smooth Kummer surfaces in projective three-space. [preprint] [published version]
   Proc. Amer. Math. Soc., 125, 2537-2541 (1997)
   • The main result of this paper says that for any positive integer d there are smooth quartics in P³ containing 16 skew smooth rational curves of degree d. In case d=1 the statement is classical (due to Traynard) and was rediscovered by Barth and Nieto in 1994.
10. Thomas Bauer:
    Seshadri constants of quartic surfaces. [preprint] [published version]
    Math. Ann., 309, 475-481 (1997)
    • This paper determines the possible values that the global Seshadri constant of the hyperplane bundle on a smooth quartic in P³ can have. The two submaximal cases are characterized geometrically; they occur on sets of codimension one in the space of quartics.
11. Thomas Bauer:
    On the cone of curves of an abelian variety. [arXiv] [published version]
    Am. J. Math., 120, 997-1006 (1998)
    • When is the ample cone (or, equivalently, the cone of curves) of an abelian variety rational polyhedral? It is shown in the paper that this happens if and only if the abelian variety is isogenous to a product of mutually non-isogenous abelian varieties of Picard number one.
12. Thomas Bauer:
    Seshadri constants and periods of polarized abelian varieties. [arXiv] [published version]
    Math. Ann., 312, 607-623 (1998)
    • First, based on studying minimal period lengths, the paper provides a lower bound on the Seshadri constant of the very general abelian variety of fixed type. This yields a new criterion for very ampleness on abelian varieties. Secondly, the paper studies Seshadri constants of Prym varieties, complementing a result of Lazarsfeld for Jacobians.
13. Thomas Bauer:
    Seshadri constants on algebraic surfaces. [arXiv] [published version]
    Math. Ann., 313, 547-583 (1999)
    • In this paper, results in various directions for Seshadri constants on algebraic surfaces are proven. It contains in particular a complete result for abelian surfaces of Picard number one, which allows to explicitly determine their Seshadri constants.
14. Thomas Bauer, Sandra Di Rocco, Tomasz Szemberg:
    Generation of jets on K3 surfaces. [preprint] [published version]
    J. Pure Appl. Algebra, 146, 17-27 (2000)
    • This paper is concerned with the problem of determining how many jets a tensor power of an ample line bundle on a K3 surface generates. The main result shows that the (k+2)-nd power is k-jet ample, except for an explicitly classified exceptional case.
15. Thomas Bauer, Sandra Di Rocco, Tomasz Szemberg:
    Cyclic coverings and higher order embeddings of algebraic varieties. [arXiv] [published version]
    Trans. Amer. Math. Soc., 353, 877-891 (2001)
    • This paper studies higher order embeddings of cyclic coverings via line bundles given by pulling back »sufficiently positive« line bundles. It relates the order of the embedding of the pullback with the order of the given line bundle and of certain rank one summands of a vector bundle that is involved.
16. Thomas Bauer, Tomasz Szemberg:
    Local positivity of principally polarized abelian threefolds. [preprint] [published version]
    J. reine angew. Math., 531, 191-200 (2001)
    • This paper shows that for a principally polarized abelian threefold only three values of the Seshadri constant are possible 1, 3/2, or 12/7. These values are shown to correspond to geometric situations: The polarized variety is a polarized product, or it is the Jacobian of a hyperelliptic curve, or it is generic, respectively.
17. Thomas Bauer, Alex Küronya, Tomasz Szemberg:
    Zariski chambers, volumes, and stable base loci. [arXiv] [published version]
    J. reine angew. Math., 576, 209-233 (2004)
    • In this paper a structural result on the big cone of algebraic surfaces is proven: The big cone has a locally finite decomposition into rational locally polyhedral subcones such that in each subcone (i) the support of the negative part of the Zariski decomposition is constant, (ii) the volume function is given by a single quadratic polynomial, and (iii) the stable base loci are constant (in the interior of the subcone).
18. Thomas Bauer:
    A criterion for an abelian variety to be simple. [arXiv] [published version]
    Arch. Math., 90, 317-321 (2008)
    • An abelian variety is simple if it does not contain any non-trivial abelian subvarieties. The purpose of this paper is to provide a criterion on the codimension-one level. Specifically, it expresses simpleness in terms of the s-invariant introduced by Cutkosky-Ein-Lazarsfeld.
19. Thomas Bauer, Tomasz Szemberg:
    Seshadri constants on surfaces of general type. [arXiv] [published version]
    Manuscripta Math., 126, 167-175 (2008)
    • This paper studies Seshadri constants of the canonical bundle on minimal surfaces of general type. It is concerned with the question which values between 0 and 1 can occur at arbitrary points, and it shows that small values at generic points are accounted for by the geometry of the surface.
20. Thomas Bauer, Christoph Schulz:
    Seshadri constants on the self-product of an elliptic curve. [arXiv] [published version]
    Journal of Algebra, 320, 2981-3005 (2008)
    • In this paper Seshadri constants on the self-product of an elliptic curve are studied. It contains explicit formulas for computing the Seshadri constants of all ample line bundles on these surfaces. The proofs use methods from the geometry of numbers.
21. Thomas Bauer, Tomasz Szemberg:
    Seshadri constants and the generation of jets. [arXiv] [published version]
    Journal of Pure and Applied Algebra, 213, 2134-2140 (2009)
    • This paper explores the connection between Seshadri constants and the generation of jets. As is well-known, one way to view Seshadri constants is to consider them as measuring the rate of growth of the number of jets that tensor powers of a line bundle generate. The paper investigates, conversely, what one can say about the number of jets once the Seshadri constant is known.
22. Thomas Bauer:
    A simple proof for the existence of Zariski decompositions on surfaces. [arXiv] [published version]
    J. Algebraic Geom., 18, 789-793 (2009)
    • This paper contains a a quick and simple proof of the existence and uniqueness of Zariski decompositions on surfaces. While Zariski's original proof constructs the negative part of the decomposition, the present approach is based on the idea that the positive part can be constructed from a maximality condition.
23. Thomas Bauer, Sandra Di Rocco, Brian Harbourne, Michal Kapustka, Andreas Leopold Knutsen, Wioletta Syzdek, Tomasz Szemberg:
    A primer on Seshadri constants. [arXiv] [Publisher link]
    Contemporary Mathematics, 496, 33-70 (2009)
    • The subject of Seshadri constants witnessed quite a bit of development in recent years. This text gives an account of recent progress and discusses many open questions and examples. The idea of writing these notes originated in a workshop on Seshadri constants in Essen in February 2008.
24. Thomas Bauer, Michael Funke and Sebastian Neumann:
    Counting Zariski chambers on Del Pezzo surfaces. [arXiv] [published version]
    Journal of Algebra, 324, 92-101 (2010)
    • Zariski chambers provide a natural decomposition of the big cone of an algebraic surface into rational locally polyhedral subcones that are interesting from the point of view of linear series. This paper presents an algorithm that allows to effectively determine Zariski chambers when the negative curves on the surface are known.
25. Thomas Bauer, Tomasz Szemberg;:
    On the Seshadri constants of adjoint line bundles. [arXiv] [published version] [PDF]
    Manuscripta Math., 135, 215-228 (2011)
    • This paper is concerned with a natural question on Seshadri constants: What are the possible values? While in general every positive rational number appears as a local Seshadri constant of some ample line bundle, the paper provides various bounds and restrictions for line bundles that are adjoints of nef bundles.
26. Thomas Bauer, Mirel Caibar, Gary Kennedy:
    Zariski decomposition: a new (old) chapter of linear algebra. [arXiv] [published version]
    American Math. Monthly, 119(1), 25-41 (2012)
    • This paper originated in the observation that the concept of Zariski decomposition is in essence purely within the realm of linear algebra. In the paper, Zariski decomposition is therefore formulated as a theorem in linear algebra and a linear algebraic proof is presented.
27. Thomas Bauer, Michael Funke:
    Weyl and Zariski chambers on K3 surfaces. [arXiv] [published version]
    Forum Mathematicum, 24, 609-625 (2012)
    • The big cone of every K3 surface admits two natural chamber decompositions: the decomposition into Zariski chambers, and the decomposition into simple Weyl chambers. This paper studies the mutual relationship of these decompositions: When do they coincide? Which inclusions between chambers occur? In particular, the surprising fact is established that -- even though the decompositions themselves may differ -- the number of Zariski chambers always equals the number of simple Weyl chambers.
28. Thomas Bauer, Cristiano Bocci, Susan Cooper, Sandra Di Rocco, Marcin Dumnicki, Brian Harbourne, Kelly Jabbusch, Andreas Leopold Knutsen, Alex Kuronya, Rick Miranda, Joaquim Roe, Hal Schenck, Tomasz Szemberg, Zach Teitler:
    Recent developments and open problems in linear series. [arXiv] [published version]
    In P. Pragacz (Ed.), Contributions to Algebraic Geometry (pp. 93-140). EMS, 2012.
    • These notes originated in the very nice mini-workshop »Linear Series on Algebraic Varieties« in October 2010, at Oberwolfach. They contain a variety of interesting problems, which motivated the participants prior to the event, and examples, results and further problems which grew out of discussions during and shortly after the workshop.
29. Thomas Bauer, David Schmitz:
    Zariski chambers on surfaces of high Picard number. [arXiv] [published version]
    LMS Journal of Computation and Mathematics, 15, 219-230 (2012)
    • In this paper an improved algorithm for the computation of Zariski chambers on algebraic surfaces is presented. The new algorithm significantly outperforms the so far available method and allows therefore to treat surfaces of high Picard number, where huge chamber numbers occur. Applications include the computation of the Zariski chambers supported by the lines on the Segre-Schur quartic.
30. Thomas Bauer, David Schmitz:
    Volumes of Zariski chambers. [arXiv] [published version]
    Journal of Pure and Applied Algebra, 217(1), 153-164 (2013)
    • Zariski chambers have so far been studied both from a geometric and from a combinatorial perspective. In the present paper we complement the picture with a metric point of view by studying a suitable notion of chamber sizes. Our first result gives a precise condition for the nef cone volume to be finite and provides a method for computing it inductively. Our second result determines the volumes of arbitrary Zariski chambers from nef cone volumes of blow-downs. We illustrate the applicability of this method by explicitly determining the chamber volumes on Del Pezzo and other anti-canonical surfaces.
31. Thomas Bauer, Brian Harbourne, Andreas Leopold Knutsen, Alex Küronya, Stefan Müller-Stach, Xavier Roulleau, Tomasz Szemberg:
    Negative curves on algebraic surfaces. [arXiv] [published version]
    Duke Mathematical Journal, 162(10), 1877-1894 (2013)
    • We obtain results on the number of irreducible curves of negative self-intersection on smooth complex projective surfaces. The only known examples of surfaces for which the self-intersection of irreducible curves is not bounded below are in positive characteristic, and the general expectation is that no examples can arise over the complex numbers. Indeed, one of the results of the paper shows that the idea underlying the examples in positive characteristic cannot produce examples over the complex number field.
32. Thomas Bauer, Tomasz Szemberg:
    The effect of points fattening in dimension three. [arXiv] [published version]
    In Ch. D. Hacon, M. Mustata, M. Popa (Eds.), Recent Advances in Algebraic Geometry (pp. 1-12). London Mathematical Society Lecture Note Series 417, Cambridge Univ. Press, 2014.
    • There has been increased recent interest in understanding the relationship between the symbolic powers of an ideal and the geometric properties of the corresponding variety. While a number of results are available for the two-dimensional case, the higher-dimensional case is largely unexplored. In the present paper we study a natural conjecture arising from a result by Bocci and Chiantini. As a first step towards understanding the higher-dimensional picture, we show that this conjecture is true in dimension three. Also, we provide examples showing that the hypotheses of the conjecture may not be weakened.
33. Thomas Bauer, Sandra Di Rocco, Brian Harbourne, Jack Huizenga, Anders Lundman, Piotr Pokora, Tomasz Szemberg:
    Bounded negativity and arrangements of lines. [arXiv] [published version]
    Int. Math. Res. Notices, 2015 (19), 9456-9471 (2015)
    • The Bounded Negativity Conjecture predicts that for any smooth complex surface X there exists a lower bound for the self-intersection of reduced divisors on X. This conjecture is open. It is also not known if the existence of such a lower bound is invariant in the birational equivalence class of X. In the present note we introduce certain constants H(X) which measure in effect the variance of the lower bounds in the birational equivalence class of X. We focus on rational surfaces and relate the value of H(P^2) to certain line arrangements.
34. Thomas Bauer, Sándor J Kovács, Alex Küronya, Ernesto Carlo Mistretta, Tomasz Szemberg, Stefano Urbinati:
    On positivity and base loci of vector bundles. [arXiv] [published version] [PDF]
    Eur. J. Math., 1(2), 229-249 (2015)
    • The aim of this note is to shed some light on the relationships among some notions of positivity for vector bundles that arose in recent decades. Our purpose is to study several of the positivity notions studied for vector bundles with some notions of asymptotic base loci that can be defined on the variety itself, rather than on the projectivization of the given vector bundle. We relate some of the different notions conjectured to be equivalent with the help of these base loci, and we show that these can help simplify the various relationships between the positivity properties present in the literature. In particular, we define augmented and restricted base loci B+(E) and B-(E) of a vector bundle E on the variety X, as generalizations of the corresponding notions studied extensively for line bundles. As it turns out, the asymptotic base loci defined here behave well with respect to the natural map induced by the projectivization of the vector bundle E.
35. Thomas Bauer, Thorsten Herrig:
    Fixed points of endomorphisms on two-dimensional complex tori. [arXiv] [published version]
    J. Algebra, 458, 351--363 (2016)
    • In this paper we investigate fixed-point numbers of endomorphisms on complex tori. Specifically, motivated by the asymptotic perspective that has turned out in recent years to be so fruitful in Algebraic Geometry, we study how the number of fixed points behaves when the endomorphism is iterated. Our first result shows that the fixed-points function of an endomorphism on a two-dimensional complex torus can have only three different kinds of behaviours, and we characterize these behaviours in terms of the analytic eigenvalues. Our second result focuses on simple abelian surfaces and provides criteria for the fixed-points behaviour in terms of the possible types of endomorphism algebras.
36. Thomas Bauer, Klaus Hulek, Slawomir Rams, Alessandra Sarti, Tomasz Szemberg:
    Wolf Barth (1942--2016). [arXiv] [published version] [PDF]
    Jahresber. Dtsch. Math. Ver., 119, 273–292 (2017)
    • In this article we describe the life and work of Wolf Barth who died on 30th December 2016. Wolf Barth's contributions to algebraic variety span a wide range of subjects. His achievements range from what is now called the Barth-Lefschetz theorems to his fundamental contributions to the theory of algebraic surfaces and moduli of vector bundles, and include his later work on algebraic surfaces with many singularities, culminating in the famous Barth sextic.
37. Thomas Bauer, Brian Harbourne, Joaquim Roé, Tomasz Szemberg:
    The Halphen cubics of order two. [arXiv] [published version]
    Collect. Math., 68, 339–357 (2017)
    • In recent work, Roulleau and Urzúa give an implicit construction of a configuration of complex plane cubic curves, which was crucial for their results on surfaces of general type. We make this construction explicit by proving that the Roulleau-Urzúa configuration consists precisely of the Halphen cubics of a certain order, and we determine specific equations of the cubics of order 1 (which were known) and of order 2 (which are new).
38. Thomas Bauer, Piotr Pokora, David Schmitz:
    On the boundedness of the denominators in the Zariski decomposition on surfaces. [arXiv] [published version]
    J. reine angew. Math., 733, 251–259 (2017)
    • Zariski decompositions play an important role in the theory of algebraic surfaces. For making geometric use of the decomposition of a given divisor, one needs to pass to a multiple of the divisor in order to clear denominators. It is therefore an intriguing question whether the surface has a »universal denominator« that can be used to simultaneously clear denominators in all Zariski decompositions on the surface. We prove in this paper that, somewhat surprisingly, this condition of bounded Zariski denominators is equivalent to the bounded negativity of curves that is addressed in the Bounded Negativity Conjecture. Furthermore, we provide explicit bounds for Zariski denominators and negativity of curves in terms of each other.
39. Thomas Bauer, Carsten Bornträger:
    Nef cone volumes and discriminants of abelian surfaces. [arXiv] [published version]
    J. Pure Appl. Algebra, 222, 2330-2341 (2018)
    • The nef cone volume appeared first in work of Peyre in a number-theoretic context on Fano varieties surfaces, and it was studied by Derenthal and co-authors in a series of papers on del Pezzo surfaces. The idea was subsequently extended to also measure the Zariski chambers of Del Pezzo surfaces. We start in this paper to explore the possibility to use this attractive concept to effectively measure the size of the nef cone on algebraic surfaces in general. This provides an interesting way of measuring in how big a space an ample line bundle can be moved without destroying its positivity. We give here complete results for simple abelian surfaces that admit a principal polarization and for products of elliptic curves.
40. Thomas Bauer, Sandra Di Rocco, David Schmitz, Tomasz Szemberg, Justyna Szpond:
    On the postulation of lines and a fat line. [arXiv] [published version]
    Journal of Symbolic Computation, 91, 3-16 (2019)
    • In this note we show that the union of r general lines and one fat line in P3 imposes independent conditions on forms of sufficiently high degree d, where the bound on d is independent of the number of lines. This extends former results of Hartshorne and Hirschowitz on unions of general lines, and of Aladpoosh on unions of general lines and one double line.
41. Thomas Bauer, Sandra Di Rocco, Brian Harbourne, Jack Huizenga, Alexandra Seceleanu, Tomasz Szemberg:
    Negative curves on symmetric blowups of the projective plane, resurgences and Waldschmidt constants. [arXiv] [published version] [PDF]
    International Mathematics Research Notices, 2019(24), 7459–7514 (2019)
    • The Klein and Wiman configurations are highly symmetric configurations of lines in the projective plane arising from complex reflection groups. In this paper we study the surface X obtained by blowing up P2 in the singular points of one of these line configurations. We study invariant curves on X in detail, with a particular emphasis on curves of negative self-intersection. We use the representation theory of the stabilizers of the singular points to discover several invariant curves of negative self-intersection on X, and use these curves to study Nagata-type questions for linear series on X. The homogeneous ideal I of the collection of points in the configuration is an example of an ideal where the symbolic cube of the ideal is not contained in the square of the ideal -- ideals with this property are seemingly quite rare. We use our knowledge of negative curves on X to compute the resurgence of I exactly. We also compute the asymptotic resurgence and Waldschmidt constant exactly in the case of the Wiman configuration of lines, and provide estimates on both for the Klein configuration.
42. Thomas Bauer, Grzegorz Malara, Tomasz Szemberg, Justyna Szpond:
    Quartic unexpected curves and surfaces. [arXiv] [published version] [PDF]
    manuscripta math. 161, 283–292 (2020)
    • Our research is motivated by recent work of Cook II, Harbourne, Migliore, and Nagel on configurations of points in the projective plane with properties that are unexpected from the point of view of the postulation theory. In this note, we revisit the basic configuration of nine points appearing in work of Gennaro/Ilardi/Vall\`es and Harbourne, and we exhibit some additional new properties of this configuration. We then pass to projective three-space and exhibit a surface with unexpected postulation properties there. Such higher dimensional phenomena have not been observed so far.
43. Thomas Bauer, Felix Fritz Grimm, Maximilian Schmidt:
    On the integrality of Seshadri constants of abelian surfaces. [arXiv] [published version (view)] [published version]
    European Journal of Mathematics, 6(4), 1264-1275 (2020)
    • In this paper we consider the question of when Seshadri constants on abelian surfaces are integers. Our first result concerns self-products E×E of elliptic curves: If E has complex multiplication in \Z[i] or in \Z[\frac12(1+i\sqrt3)] or if E has no complex multiplication at all, then it is known that for every ample line bundle L on E×E, the Seshadri constant of L is an integer. We show that, contrary to what one might expect, these are in fact the only elliptic curves for which this integrality statement holds. Our second result answers the question how -- on any abelian surface -- integrality of Seshadri constants is related to elliptic curves.
44. Thomas Bauer, Brian Harbourne, Alex Kuronya, Matthias Nickel:
    Bounded volume denominators and bounded negativity. [arXiv] [published version]
    International Mathematics Research Notices, 2021(24), 18476-18488 (2021)
    • In this paper we study the question of whether on smooth projective surfaces the denominators in the volumes of big line bundles are bounded. In particular we investigate how this condition is related to bounded negativity (i.e., the boundedness of self-intersections of irreducible curves). Our first result shows that boundedness of volume denominators is equivalent to primitive bounded negativity, which in turn is implied by bounded negativity. We connect this result to the study of semi-effective orders of divisors: Our second result shows that negative classes exist that become effective only after taking an arbitrarily large multiple.
45. Thomas Bauer, Lucja Farnik:
    Seshadri constants on abelian and bielliptic surfaces – potential values and lower bounds. [arXiv] [published version]
    Proc. Amer. Math. Soc., 150, 5025-5034 (2022)
    • In this note we contribute to the study of Seshadri constants on abelian and bielliptic surfaces. We specifically focus on bounds that hold on all such surfaces, depending only on the self-intersection of the ample line bundle under consideration. Our result improves previous bounds and it provides rational numbers as bounds, which are potential Seshadri constants.
46. Thomas Bauer, Maximilian Schmidt:
    Seshadri constants on principally polarized abelian surfaces with real multiplication. [arXiv] [published version] [PDF]
    Math. Z., 300, 3433-–3456 (2022)
    • Seshadri constants on abelian surfaces are fully understood in the case of Picard number one. Little is known so far for simple abelian surfaces of higher Picard number. In this paper we investigate principally polarized abelian surfaces with real multiplication. They are of Picard number two and might be considered the next natural case to be studied. The challenge is to not only determine the Seshadri constants of individual line bundles, but to understand the whole Seshadri function on these surfaces. Our results show on the one hand that this function is surprisingly complex: On surfaces with real multiplication in \Z[\sqrt e] it consists of linear segments that are never adjacent to each other – it behaves like the Cantor function. On the other hand, we prove that the Seshadri function it is invariant under an infinite group of automorphisms, which shows that it does have interesting regular behavior globally.
47. Thomas Bauer, Slawomir Rams:
    Counting lines on projective surfaces. [arXiv] [published version]
    Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), XXIV, 1285-1299 (2023)
    • A smooth surface in projective-three space of degree d >= 3 carries only a finite number of lines. It is therefore an intriguing question to find bounds for the maximal number of lines. In this paper, we prove such a bound. Our result improves a bound due to Segre and renders his arguments rigorous. In the range d >= 6 it is the best known bound.

Mathematics Education

Non-refereed Publications

1. Thomas Bauer:
   Schulmathematik und universitäre Mathematik -- Vernetzung durch Schnittstellenaufgaben zur Analysis.
   In A. Hoppenbrock, S. Schreiber, R. Göller, R. Biehler, B. Büchler, R .Hochmuth, H.G. Rück (Eds.), Mathematik im Übergang Schule/Hochschule und im ersten Studienjahr: Extended Abstracts zur 2. khdm-Arbeitstagung (pp. 15-16), Kassel: Universitätsbibliothek, 2013.
   • Das Bewusstsein um die Bruchstellen zwischen Schulmathematik und universitärer Mathematik hat in den letzten Jahren stark zugenommen. Dabei ist insbesondere die Einsicht gewachsen, dass sich bei vielen Studierenden die notwendigen Verknüpfungen nicht von alleine aufbauen, sondern dass hierzu geeignete Schnittstellenaktivitäten im Studium erforderlich sind. Der Autor hat dazu Lerngelegenheiten in einem hochschuldidaktischen Projekt entwickelt, das die Vernetzung von Schulanalysis und universitärer Analysis durch spezielle Übungsaufgaben im Modul Analysis anstrebt.
2. Thomas Bauer:
   Übungsgelegenheiten im Mathematikstudium -- Erproben neuer Konzepte. [preprint]
   In H. Schelhowe, W. Schaumburg, J. Jasper (Eds.), Teaching is Touching the Future. Academic teaching within and across disciplines (pp. 139-139). Bielefeld: Webler, 2015.
   • In der Keynote, die diesem Beitrag zugrunde liegt, wurden drei Problemfelder des Mathematikstudiums herausgearbeitet und es wurde jeweils ein Ansatz vorgestellt, mit dem der Autor dem festgestellten Problem begegnet -- Übungen und Übungsaufgaben spielen dabei jeweils eine zentrale Rolle. (1) Doppelte Diskontinuität im Lehramtsstudium: »Warum soll ich als Lehramtsstudent/Lehramtsstudentin so etwas lernen?« -- Wie durch Schnittstellenaufgaben Bezüge zwischen Schul- und Hochschulmathematik hergestellt werden können. (2) Frustration bei Übungsaufgaben: »Die schaffe ich sowieso nicht.« -- Wie Online-Aufgaben als Brückenschlag zwischen Vorlesung und traditionellen Übungsaufgaben dienen können. (3) Ineffizient genutzte Präsenzzeit: »In der Übung schreibe ich die Musterlösungen mit.« -- Wie Studierende durch die Methode der Peer-Instruction in den Übungen aktiviert werden können.
3. Thomas Bauer, Eric Kuennen:
   Building and measuring mathematical sophistication in pre-service mathematics teachers. [preprint]
   In R. Göller, R. Biehler, R. Hochmuth, H.-G. Rück (Eds.). Didactics of Mathematics in Higher Education as a Scientific Discipline -- Conference Proceedings (pp. 360-364). Kassel, Germany: Universitätsbibliothek Kassel, 2016.
   • We advocate that fostering mathematical sophistication should be a main role that advanced mathematics contents courses play in the university education of pre-service teachers.
4. Thomas Bauer, Lisa Hefendehl-Hebeker:
   Das gymnasiale Lehramtsstudium -- widerstreitende Anforderungen und vermittelnde Ansätze. [preprint] [published version]
   In Fachgruppe Didaktik der Mathematik der Universität Paderborn (Eds.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2018 (pp. 9-16). Münster: WTM-Verlag, 2018.
   • Das gymnasiale Lehramtsstudium im Fach Mathematik unterliegt zahlreichen Anforderungen, die oft schwer ins Gleichgewicht zu bringen sind -- dies um so mehr, als die fachlichen Studienanteile zunehmend knapp bemessen sind: Die Studierenden sollen Anschluss an die aktuellen Standards des Faches finden und zugleich Sensibilität für die Genese mathematischen Denkens entwickeln, sie sollen systematisch aufgebaute Theorien verstehen und zugleich elementare Ansatzpunkte für die Vermittlung grundlegender Ideen auf verschiedenen Stufen kennen, sie sollen fachliches Selbstbewusstsein und zugleich Einfühlungsvermögen für Probleme von Lernenden erwerben. Diesen widerstreitenden Zielen kann eine Studiengestaltung nur gerecht werden, wenn sie den unterschiedlichen Fachkulturen in Schule und Hochschule bewusst Rechnung trägt und Brückenschläge in beide Richtungen vornimmt. Der Beitrag gibt zu dieser Problematik eine Bestandsaufnahme und stellt Ansätze zu ihrer Überwindung vor.
5. Thomas Bauer:
   Schnittstellenaufgaben als Ansatz zur Vernetzung von Schul- und Hochschulmathematik: Design-Iterationen und Modell. [preprint] [published version]
   In Fachgruppe Didaktik der Mathematik der Universität Paderborn (Eds.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2018 (pp. 201-204). WTM, 2018.
   • Dass Lehramtsstudierende oftmals Schulmathematik und universitäre Mathematik als getrennte Welten wahrnehmen und dadurch die Wirksamkeit der Hochschulausbildung in Frage steht, ist ein unter dem Schlagwort Doppelte Diskontinuität lange bekannter Befund (Klein 1908). Schnittstellenaufgaben stellen einen Ansatz dar, um diesem Problem entgegenzutreten. Im vorliegenden Beitrag beschreiben wir die Design-Iterationen beim Entwurf des Schnittstellenmoduls Analysis und erläutern das daraus entstandene Modell für Schnittstellenaufgaben.
6. Thomas Bauer:
   Peer Instruction in mathematischen Übungsgruppen – Entwurfsprinzipien und Akzeptanz.
   In A. Frank, S. Krauss, K. Binder (Eds.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2019 (pp. 85-88). WTM. [preprint] [published version]
7. Thomas Bauer, Carola W. Meyer, Eva Müller-Hill, Roland Weber:
   Vom Hörsaal bis ins Klassenzimmer -- Längsschnittliche fachliche Vernetzungen in der Lehramtsausbildung. [preprint] [published version]
   Mitteilungen der GDM, 108, 33-38 (2020)
   • Im Rahmen des durch die Qualitätsoffensive Lehrerbildung geförderten Projekts ProPraxis wurden insbesondere die Praxisphasen des Marburger Lehramtsstudiengangs restrukturiert, um den Praxisbezug im Studiengang zu stärken. Leitend dafür ist die Idee einer stärkeren Integration von Fachlichkeit und Professionalisierung. Im Ergebnis wurde ein neuartiges curriculares Format entwickelt, das längsschnittlich fachliche, fachdidaktische und bildungswissenschaftliche Perspektiven verknüpft, die Marburger Praxismodule (MPM).
     Im Beitrag stellen wir vor, wie das Konzept der MPM im Fach Mathematik die Projektidee am Kernthema des mathematischen Beweisens als einer grundlegenden mathematischen Tätigkeit umsetzt. Wir zeigen, auf welcher theoretischen Grundlage und durch welche Aktivitäten wir dabei die Übergänge von der Objektebene zur Metaebene und damit auch die längsschnittliche Umsetzung der Projektidee des doppelten Praxisverständnisses gestalten.
8. Elisa Lankeit, Thomas Bauer, Rolf Biehler:
   Votingfragen in den Übungen zur Analysis -- Wirkung verschiedener Einsatzszenarien.
   In H.-S. Siller, W. Weigel, & J. F. Wörler (Hrsg.). Beiträge zum Mathematikunterricht 2020 (S. 1361-1364). WTM.
9. Thomas Bauer, Eva Müller-Hill, Roland Weber:
   Wie kann man die »zweite Diskontinuität« produktiv wenden? – Vorschläge mit Blick auf Argumentieren und Beweisen.
   In K. Hein, C. Heil, S. Ruwisch, & S. Prediger (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2021, WTM.
10. Thomas Bauer, Eva Müller-Hill, Silke Neuhaus-Eckhardt, Stefanie Rach:
    „Illustrieren am Beispiel“ beim Beweisverstehen: Beispielkonstruktionsprozesse von Mathematikstudierenden..
    In IDMI-Primar Goethe-Universität Frankfurt (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2022 (S. 237-240). WTM.

Refereed Papers

1. Thomas Bauer, Ulrich Partheil:
   Schnittstellenmodule in der Lehramtsausbildung im Fach Mathematik. [preprint] [published version]
   Math. Semesterber., 56, 85-103 (2009)
   • This paper (written in german) is concerned with teacher education. It describes the development of a specific approach to teaching analysis courses for pre-service math teachers. It includes explicit examples and describes the experiences made so far.
2. Thomas Bauer:
   Schnittstellen bearbeiten in Schnittstellenaufgaben. [preprint] [published version]
   In Ch. Ableitinger, J. Kramer, S. Prediger (Eds.), Zur doppelten Diskontinuität in der Gymnasiallehrerbildung (pp. 39-56). Wiesbaden: Springer Spektrum, 2013.
   • In der aktuellen Diskussion zur doppelten Diskontinuität besteht weitgehend Einigkeit darüber, dass sich bei vielen Studierenden die Bezüge zwischen Schulmathematik und universitärer Mathematik nicht von ganz alleine einstellen, sondern dass hierfür gezielte Schnittstellenaktivitäten erforderlich sind. Absicht des vorliegenden Texts ist es, aufzuzeigen, wie solche Aktivitäten im Rahmen von Schnittstellenaufgaben gestaltet werden können und dies anhand von Beispielaufgaben zu konkretisieren.
3. Thomas Bauer:
   Schulmathematik und universitäre Mathematik -- Vernetzung durch inhaltliche Längsschnitte. [preprint] [published version]
   In H. Allmendinger, K. Lengnink, A. Vohns, G. Wickel (Eds.), Mathematik verständlich unterrichten. Perspektiven für Unterricht und Lehrerbildung (pp. 235-252). Wiesbaden: Springer Spektrum, 2013.
   • In diesem Aufsatz wird gezeigt, wie mittels Schnittstellenaufgaben inhaltliche Längsschnitte von der Sekundarstufe I über die gymnasiale Oberstufe zur Analysisvorlesung und darüber hinaus gebildet werden können. Das Ziel solcher Längsschnitte ist es, Studierenden Gelegenheiten zu geben, Verknüpfungen zwischen Schul- und Hochschulmathematik aufzubauen.
4. Thomas Bauer, Wolfgang Gromes, Ulrich Partheil:
   Mathematik verstehen von verschiedenen Standpunkten aus -- Zugänge zum Krümmungsbegriff. [preprint] [published version]
   In A. Hoppenbrock, R. Biehler, R. Hochmuth, H.-G. Rück (Eds.), Lehren und Lernen von Mathematik in der Studieneingangsphase (pp. 483-499), Springer, 2016.
   • Es wird weithin davon ausgegangen, dass Lehramtsstudierende der Mathematik auf der fachinhaltlichen Seite ausreichend (oder gar »mehr als ausreichend«) für schulmathematische Erfordernisse gerüstet seien. An Beispielen wie dem Krümmungsbegriff lässt sich jedoch erkennen, dass diese Annahme nicht uneingeschränkt richtig ist: Wenn der zu einem Konzept als fachlich adäquat angesehene Standpunkt über dem im Lehramtscurriculum Erreichbaren liegt, dann kommen Lehramtsstudierende mit diesem Gegenstand in der Regel überhaupt nicht in Berührung und sind daher hierfür fachlich nicht vorbereitet. Wir betonen in diesem Text die Notwendigkeit, in solchen Situationen Zugänge auf elementaren Stufen zu finden. Dies konkretisieren wir am Beispiel des Krümmungsbegriffs und zeigen die Fruchtbarkeit der vorgestellten Zugänge für Schnittstellenaktivitäten.
5. Thomas Bauer:
   Schulmathematik und Hochschulmathematik -- was leistet der höhere Standpunkt?. [preprint]
   Der Mathematikunterricht, 63, 36-45 (2017)
   • Das Mathematikstudium scheint in seinen Fachinhalten und den geforderten Denkweisen in beträchtlichem Abstand zur Schulmathematik zu liegen. Wo liegt die Relevanz einer solchen Ausbildung für angehende Lehrer und Lehrerinnen? Wo liegt ihr Nutzen? Der Beitrag geht dieser Frage in zwei Richtungen nach:   1) Wo wird vertieftes Fachwissen beim Unterrichten benötigt?   2) Was ist gemeint, wenn »mathematisches Denken« als ein Ziel der universitären Ausbildung genannt wird?
6. Thomas Bauer:
   Peer Instruction als Instrument zur Aktivierung von Studierenden in mathematischen Übungsgruppen. [preprint] [published version (view)] [published version]
   Math. Semesterberichte, 66(2), 219-241 (2019)
   • Üben ist ein wesentliches Element des Mathematiklernens. Vorlesungsbegleitende Übungen gehören daher in der Mathematik seit langem zum selbstverständlichen Lehrangebot. Viele Dozenten machen allerdings die Erfahrung, dass Übungen die an sie gesetzen Erwartungen nicht immer erfüllen -- insbesondere, wenn man es als wichtige Ziele betrachtet, dass dort Vorlesungsinhalte diskutiert, Fragen gestellt und Verständnisprobleme geklärt werden. Einer der Gründe dafür liegt darin, dass Studierende sich in Übungen oft passiv verhalten und es sehr vom Geschick des einzelnen Übungsleiters abhängt, wie viel an Aktivierung in der Übung gelingt. Im vorliegenden Beitrag wird gezeigt, wie die Methode der Peer Instruction wirkungsvoll genutzt werden kann, um Studierende in mathematischen Übungsgruppen zu aktivieren. Der Autor hat die Methode in Übungen zu den Vorlesungen Analysis I und II erfolgreich eingesetzt. Er stellt im Beitrag die konzeptionellen Grundlagen vor, zeigt Beispiele und diskutiert Ergebnisse aus dem Pilotdurchgang.
7. Thomas Bauer, Thomas Skill:
   Einsatz von Peer Instruction zur Förderung des Beweisverständnisses in mathematischen Vorlesungen. [preprint]
   In A. Meissner, C. Walter, B. Zinger, J. Haubner (Eds.), Tagungsband zum 4. MINT-Symposium zur Hochschullehre in den MINT-Fächern (pp. 38-46), Nürnberg: TH Nürnberg, 2019.
   • Mathematik ist eine beweisende Wissenschaft. Dies spiegelt sich nicht nur in der zentralen Rolle, die Beweise in fachmathematischen Lehrveranstaltungen spielen, sondern auch in der Bedeutung, die Argumentieren und Beweisen in den schulischen Bildungsstandards erhalten hat. Auch in Studiengängen, in denen Mathematik als Service-Disziplin auftritt, wird exemplarisch gezeigt, dass mathematische Erkenntnisse auf stichhaltigen Begründungen fußen, die sowohl Absicherung als auch Erklärung bieten. Der vorliegende Beitrag fokussiert auf das Beweisverständnis, d.h. auf das Verstehen von bereits vorliegenden korrekten Beweisen, wie sie etwa in Vorlesungen präsentiert werden. Für Studierende stellt dies besonders am Studienbeginn eine große Hürde dar und ist daher ein aktives Feld hochschuldidaktischer Bemühungen. Wir stellen einen Ansatz vor, der die Methode der Peer Instruction inmitten von Beweisführungen als aktivierende Unterstützungsmethode verwendet, um das Beweisverständnis der Studierenden zu fördern. Wir präsentieren hierfür ein Modell zur Aufgabenkonstruktion und berichten über erste Ergebnisse.
8. Thomas Bauer:
   Design von Aufgaben für Peer Instruction zum Einsatz in Übungsgruppen zur Analysis. [preprint]
   In M. Klinger, A. Schüler-Meyer, L. Wessel (Eds.), Hanse-Kolloquium zur Hochschuldidaktik der Mathematik 2018 (pp. 63-74). Münster: WTM, 2019.
   • Die Methode der Peer Instruction bietet einen Ansatz, um Studierende in mathematischen Übungsgruppen fokussiert zu aktivieren. Hierdurch kann der Gefahr begegnet werden, dass das „Vorrechnen“ von Übungsaufgaben durch den Tutor der Hauptbestandteil der Übungen wird. Dreh- und Angelpunkt der Methode sind Aufgaben, die so beschaffen sind, dass sie die angestrebten fachbezogenen fokussierten Argumentationsprozesse bei den Studierenden anregen. Im Beitrag werden mehrere Iterationen von Design-Zyklen eines Projekts betrachtet, in dem solche Aufgaben konstruiert und eingesetzt wurden. Es wird gezeigt, dass das Projekt als Ergebnis einerseits Aufgaben für den wöchentlichen Einsatz in Übungsgruppen zur Analysis 1 und 2 (als praktischen Ertrag) erbrachte und es andererseits die Entwicklung von Design-Prinzipien für Peer-Instruction-Aufgaben (als theoretischen Ertrag) ermöglichte.
9. Thomas Bauer, Eva Müller-Hill, Roland Weber:
   Wie entsteht neue Mathematik? – Spezifische Mechanismen der fachlichen Wissensbildung in der Mathematik. [preprint] [published version]
   In N. Meister, U. Hericks, R. Kreyer, R. Laging (Eds.), Zur Sache. Die Rolle des Faches in der universitären Lehrerbildung (pp. 55-77), Wiesbaden: Springer Fachmedien, 2020.
   • Mathematik bietet nicht nur einen möglichen Zugang zu der einen Welt, in der wir leben. Sie kann auch zur Beschreibung und Analyse von darüber hinaus gehenden Systemen und Strukturen verwendet werden, die eine sinnvolle Axiomatisierung zulassen und für die elementare Gesetze der Logik gelten sollen. Wie gelingt es, dass seit vielen Jahrhunderten mathematische Forschung regelmäßig neue mathematische Resultate hervorbringt, die nicht nur den Bestand des mathematischen Wissens vergrößern, sondern auch eine Reihe anderer Wissenschaften voranbringen? Wie und in welchem Sinne funktioniert Wissensgenese in der Mathematik? Und welche Rolle spielen solche Geneseprozesse für das Lehren und Lernen von Mathematik in der Schule? Diesen Fragen gehen wir im Beitrag exemplarisch auf den Grund.
10. Thomas Bauer, Eva Müller-Hill, Roland Weber:
    Diskontinuitäten zwischen Schulmathematik und Hochschulmathematik – eine Ursache für Verstehensschwierigkeiten. [preprint] [published version]
    In N. Meister, U. Hericks, R. Kreyer, R. Laging (Eds.), Zur Sache. Die Rolle des Faches in der universitären Lehrerbildung (pp. 127-145), Wiesbaden: Springer Fachmedien, 2020.
    • Studierende im Fach Mathematik machen insbesondere am Beginn des Studiums Diskontinuitätserfahrungen: Sie erleben Brüche zwischen Schulmathematik und Hochschulmathematik, die so weit gehen können, dass sie diese beiden Formen von Mathematiktreiben als völlig getrennte Welten auffassen. Der vorliegende Beitrag illustriert dies zunächst anhand von Interviewzitaten von Lehramtsstudierenden und arbeitet dann heraus, worin sich die Diskontinuitäten auf den Ebenen von Inhalten, Zielen und Argumentationsweisen konkret äußern. Bleiben Diskontinuitätserlebnisse unbearbeitet, so können sie zu Ursachen für ernste Verstehensschwierigkeiten werden. Demgegenüber beleuchtet der Beitrag – sowohl aus theoretischer Perspektive als auch anhand konkreter Beispiele – wie Diskontinuitäten expliziert und produktiv gewendet werden können.
11. Thomas Bauer, Eva Müller-Hill, Roland Weber:
    Fostering subject-driven professional competence of pre-service mathematics teachers -- a course conception and first results. [preprint]
    In M. Zimmermann, W. Paravicini, J. Schnieder (Eds.), Hanse-Kolloquium zur Hochschuldidaktik der Mathematik 2016 und 2017: Beiträge zu den gleichnamigen Symposien am 11. & 12. November 2016 in Münster und am 10. & 11. November 2017 in Göttingen (pp. 11-26). Münster: WTM-Verlag, 2021.
    • We present ProfiWerk, a professionalization course geared towards pre- service Gymnasium teachers in mathematics, which is part of the preparation for an extended school-internship phase. Since the transition from university education to school practice can come with adverse discontinuity effects -- rendering, at worst, university education ineffective -- special focus is put on establishing stable connections between both mathematics content knowledge and mathematics education knowledge to the professional demands on mathematics teachers.
12. Thomas Bauer, Eva Müller-Hill, Roland Weber:
    Analyse und Reflexion von Problemlöseprozessen -- Ein Beitrag zur Professionalisierung von Lehramtsstudierenden im Fach Mathematik. [preprint]
    In M. Zimmermann, W. Paravicini, J. Schnieder (Eds.), Hanse-Kolloquium zur Hochschuldidaktik der Mathematik 2016 und 2017: Beiträge zu den gleichnamigen Symposien am 11. & 12. November 2016 in Münster und am 10. & 11. November 2017 in Göttingen (pp. 151-172). Münster: WTM-Verlag, 2021.
    • In diesem Beitrag stellen wir eine Lehrveranstaltungskonzeption für Studierende des gymnasialen Lehramtes zum mathematischen Problemlösen als mögliches Best-Practice-Modell vor. Wir erläutern die fachlichen und fachdidaktischen Leitmotive und Ziele der Veranstaltung, geben einen Überblick zu deren konkreter Umsetzung und zeigen exemplarische Arbeitsmaterialien und Studierendenprodukte aus dem Pilotierungsdurchgang der Lehrveranstaltung.
13. Thomas Bauer, Thomas Skill:
    Mid-Proof Peer Instruction: Aufgabenkonstruktion als Herausforderung für Lehrende. [preprint] [publisher] [published version]
    In P. Riegler, Ch. Maas (Eds.), Scholarship of Teaching and Learning in der Mathematik. Mathematik-Lehre forschend betrachten (pp. 39-53). DUZ open, 2022.
    • Mid-Proof Peer Instruction ist eine Methode, die Studierende beim Verstehen von Beweisen in Vorlesungen unterstützen will. Inmitten einer laufenden Beweispräsentation werden die Studierenden dabei zum Nachdenken und Diskutieren über herausfordernde Fragen angeregt. Die Konstruktion von hierfür geeigneten Fragen ist allerdings eine nichttriviale Aufgabe. Wir untersuchen im Rahmen einer kleinen explorativen Interviewstudie, welche Fragen Lehrende zu einem gegebenen Beweis konstruieren, und wie sie ein Modell zur Fragenkonstruktion verwenden.
14. Viktor Isaev, Andreas Eichler, Thomas Bauer:
    Wirkung von Schnittstellenaufgaben auf die Überzeugungen von Lehramtsstudierenden zur doppelten Diskontinuität. [preprint] [publisher]
    In V. Isaev, A. Eichler, F. Loose (Eds.), Professionsorientierte Fachwissenschaft (pp. 139-154). Springer Spektrum, 2022.
    • Fachliches Wissen gilt als eine wesentliche Grundlage dafür, dass Lehrerinnen und Lehrer erfolgreichen Unterricht gestalten können. Inwieweit die Studierenden des Lehramts die fachlichen Inhalte von Lehrveranstaltungen mit der Schulmathematik in Verbindung bringen und die universitäre Mathematik als relevant für ihre spätere Lehrberuf ansehen, wurde bereits vor über einhundert Jahren von Felix Klein unter dem Stichwort "Doppelte Diskontinuität" hinterfragt. Die Überzeugungen von Studierenden zur Kohärenz von Schul- und Hochschulmathematik sowie zur Relevanz der universitären Mathematik für die Tätigkeit als Lehrkraft in der Schule sind jedoch ein noch junges Forschungsfeld. Insbesondere gibt es bislang kaum empirische Befunde darüber, inwieweit gezielte Maßnahmen zur Veränderung der Überzeugungen zur doppelten Diskontinuität ihre intendierte Wirkung bei den Lehramtsstudierenden erzielen. In diesem Beitrag wird über den Einsatz eines Fragebogens berichtet, mit Hilfe dessen Studierende des Lehramts an der Universität Kassel und an der Philipps-Universität Marburg in einer Grundlagenveranstaltung zur Analysis jeweils im Pre- und Posttest quantitativ zu ihren Überzeugungen zur doppelten Diskontinuität befragt wurden. Dabei wird den Fragen nachgegangen, ob und wie sich die Überzeugungen von Lehramtsstudierenden zur doppelten Diskontinuität jeweils im Verlauf des Semesters ändern.
15. Thomas Bauer:
    Mathematisches Fachwissen in unterschiedlichen Literacy-Stufen -- zwei Fallstudien. [preprint] [publisher]
    In V. Isaev, A. Eichler, F. Loose (Eds.), Professionsorientierte Fachwissenschaft (pp. 7-30). Springer Spektrum, 2022.
    • Wie das mathematische Fachwissen von Lehrkräften beschaffen sein muss, um unterrichtlich wirksam werden zu können, ist eine drängende und intensiv diskutierte Frage der gymnasialen Lehramtsausbildung. Um für die Bearbeitung dieser Frage ein möglichst differenziertes Bild der in der universitären Mathematik relevanten Wissensarten zu erhalten, wurde von Bauer und Hefendehl-Hebeker (2019) ein vierstufiges Literacy-Modell entwickelt, das als Orientierungsrahmen dienen kann. Der vorliegende Beitrag leistet einen weiteren Beitrag zur Theorieentwicklung, indem er zum einen die Literacy-Stufen aufgabenbezogen konkretisiert und zum anderen erste Schritte unternimmt, das noch ungeklärte gegenseitige Verhältnis der Stufen zu verstehen. Hierfür werden zwei Fallstudien durchgeführt, in denen durch Aufgabenanalysen das jeweils relevante Fachwissen herauspräpariert und in Bezug gesetzt wird. Die so gewonnenen Erkenntnisse über die Anforderungen werden genutzt, um Folgerungen für die Ausbildung zu ziehen.
16. Thomas Bauer:
    Enkulturation durch fachmathematische Lehrveranstaltungen im gymnasialen Lehramtsstudium – Hürden und Ansätze. [preprint] [publisher]
    Halverscheid, S., et al. (Eds.), Bedarfsgerechte fachmathematische Lehramtsausbildung (pp. 275–295). Springer, 2022.
    • Enkulturation in das Fach Mathematik ist ein wichtiges Ziel des Mathematikstudiums. Viele Lehrende machen die Beobachtung, dass Lehramtsstudierende am Ende ihres Studiums weniger stark enkulturiert zu sein scheinen als Masterstudierende. Der vorliegende Beitrag zeigt mögliche Gründe hierfür auf und stellt einen Ansatz vor, der dem Problem durch Aufgaben mit Forschungselementen begegnet. Er werden Beispiele für solche Aufgaben und konzeptionelle Grundlagen zu deren Design erläutert.
17. Thomas Bauer , Eva Müller-Hill, Silke Neuhaus-Eckhardt, Stefanie Rach:
    Beweisverständnis im Mathematikstudium unterstützen: Vergleich unterschiedlicher Varianten der Strategie „Illustrieren am Beispiel“. [preprint] [published version] [PDF]
    Journal für Mathematikdidaktik, 43, 311–346 (2022)
    • Lesen und Verstehen von Beweisen sind wichtige Aktivitäten in der wissenschaftlichen Disziplin Mathematik. Welche individuellen Merkmale mit dem Beweisverständnis zusammenhängen und wie Studierende im Prozess des Beweisverstehens durch die spezifische Strategie der Beispielnutzung unterstützt werden können, steht im Zentrum der präsentierten Studie. 166 Studierenden mehrerer Analysis-Veranstaltungen wurde der Beweis eines Satzes über monotone Teilfolgen von reellwertigen Folgen vorgelegt. Die Studierenden wurden aufgefordert, diesen durchzulesen und Beispiele zu nutzen, um jeden einzelnen Beweisschritt zu illustrieren. Die Art des Illustrierens am Beispiel wurde in verschiedenen Varianten anhand zweier Bedingungen konkretisiert (2x2-Design). Die Ergebnisse zeigen, dass die schulischen Vorleistungen und insbesondere das inhaltliche Vorwissen das Beweisverständnis erwartungskonform stark prädizieren. Für einzelne Unterstützungsvarianten, konkretisiert in den Bedingungen, konnten wir hingegen keine Vorteile für das individuelle Beweisverstehen ausmachen, dagegen geben die konkreten Bearbeitungsprozesse erhellende Einblicke in die Nutzung von Beispielen durch die Lernenden. Die Ergebnisse diskutieren wir in Bezug auf theoretische und praktische Implikationen für Lernprozesse im Mathematikstudium.
18. Thomas Bauer:
    Asynchrones Lernen mit Audioguides unterstützen – Konzept und erste Ergebnisse aus einem Kurs zur Elementargeometrie. [preprint] [published version]
    R. Hochmuth, T. Becker, L. Kempen (Eds.), Hybride Lehre in den Fächern und im Lehramt. Forschung als Impuls für eine fach- und studiengangsbezogene Lehrentwicklung an Hochschulen (pp. 93-111). Forschung und Innovation in der Hochschulbildung, 15, 2022.
    • Dieser Beitrag geht von der Aufgabenstellung aus, in einem Kurs zur Elementargeometrie die synchrone Vorlesung durch ein asynchrones Lehrangebot zu ersetzen, in dessen Zentrum die eigenständige Arbeit der Studierenden mit einem Lehrtext stehen soll. Dieses Anliegen wirft interessante Fragen auf: Wie können Elemente, die in einer Vorlesung in mündlicher Form enthalten wären, in ein asynchrones Angebot eingebracht werden? Wie arbeiten Studierende mit einem entsprechend gestalteten Lehrformat? Der vorliegende Artikel leistet hierzu zwei Beiträge: Zum einen wird gezeigt, wie ein in einen Lehrtext eingebetteter Audioguide Funktionen mündlicher Vorlesungsanteile übernehmen kann. Und zum anderen wird über erste Ergebnisse einer Fragebogenstudie zu einer Implementation dieses Konzepts berichtet. Sie zeigt, wie Studierende ihre Arbeit mit dem Format Lehrtext+Audioguide beschreiben und wie sie das neue Format mit dem klassischen Vorlesungsformat vergleichen.
19. Thomas Bauer, Rolf Biehler, Elisa Lankeit:
    Mini-Aufgaben in mathematischen Übungsgruppen zur Analysis: Charakteristika von Aufgaben und Abstimmungsverhalten von Studierenden. [preprint] [published version]
    In: R. Hochmuth, R. Biehler, M. Liebendörfer, N. Schaper (Eds.), Unterstützungsmaßnahmen in mathematikbezogenen Studiengängen: Eine anwendungsorientierte Darstellung verschiedener Konzepte, Praxisbeispiele und Untersuchungsergebnisse (pp. 515-543). Springer Spektrum, 2022.
    • Mini-Aufgaben sind kurze Aufgaben zu mathematischen Begriffen oder Sätzen, die Studierenden zusammen mit mehreren Antwortmöglichkeiten vorgelegt werden. Die Studierenden werden aufgefordert, sich Argumente für oder gegen die verschiedenen Antwortalternativen zu überlegen und sich dann in einer Abstimmung für eine Antwort zu entscheiden. Die Absicht des Einsatzes von Mini-Aufgaben liegt darin, die Studierenden zur Aktivierung ihrer auf das jeweilige Konzept bezogenen Vorstellungen anzuregen sowie eventuelle Fehlvorstellungen aufzudecken und zu bearbeiten. In dem Projekt, das diesem Beitrag zugrunde liegt, wurden Mini-Aufgaben sowohl im Rahmen von Peer Instruction eingesetzt als auch in einer stärker von der Lehrperson gesteuerten Unterrichtsform. In diesem Beitrag untersuchen wir Bezüge zwischen den Mini-Aufgaben und dem Abstimmungsverhalten der Studierenden u.a. unter den folgenden Gesichtspunkten: Welche Aufgaben werden in der ersten Abstimmung besonders häufig richtig bzw. falsch beantwortet? Was zeichnet Aufgaben aus, bei denen die zweite Abstimmung ganz anders ausfällt als die erste Abstimmung? Was zeichnet Aufgaben aus, bei denen es kaum Unterschiede zwischen den beiden Abstimmungen gibt? Welche Charakteristika weisen Aufgaben auf, bei denen falsche Antworten in recht großer Anzahl auch in der zweiten Abstimmung noch bestehen bleiben?
20. Thomas Bauer, Eva Müller-Hill:
    How preservice teachers enact mathematical argumentation and proof in class -- an activity-theoretical perspective. [published version]
    Twelfth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME12), Feb 2022, Bozen-Bolzano, Italy.
    • Argumentation and proof as core activities in mathematics should be staged continuously and meaningfully in mathematics lessons. But to what extent are preservice teachers at the end of their studies able to adequately introduce mathematical argumentation and proof as activities into their classroom planning and staging? Activity theory makes a valuable contribution to answering this question by emphasizing the importance of prospective teachers’ development of motives and goals, corresponding modes of action, subjective constructions of meaning and the ability to identify appropriate objects for argumentation and proving activities in the classroom. In this work-in- progress paper, we outline an activity-theoretical framework and present empirical research tools based on it for analyzing prospective teachers’ classroom enactments. We apply these to case studies from an exploratory, qualitative study with preservice teachers in their final year of study. We present first results and draw conclusions towards future work.
21. Thomas Bauer, Eva Müller-Hill:
    Activity Theory as a Base for Course Design in Pre-Service Teacher Education: Design Principles and Their Application in Two Examples. [preprint] [published version]
    In M. Trigueros, B. Barquero, R. Hochmuth, & J. Peters (Eds.), Proceedings of the Fourth Conference of the International Network for Didactic Research in University Mathematics (INDRUM 2022) (pp. 478-487). University of Hannover and INDRUM.
    • Observations in practice show that pre-service teachers do not always experience and acquire mathematics subject knowledge and mathematics education knowledge in such a way that they are ready to effectively use this knowledge in their future careers when designing and implementing lessons. We develop an activity-theoretical framework that contributes to describing and explaining underlying discontinuity obstacles, and, as a developmental contribution, we use the framework to formulate and implement design principles for courses in pre-service teacher education aimed at counteracting discontinuity phenomena in the area of argumentation and proving.
22. Thomas Bauer, Rolf Biehler, Elisa Lankeit:
    ConcepTests in Undergraduate Real Analysis: Comparing Peer Discussion and Instructional Explanation Settings. [published version (view)] [published version]
    Int. J. Res. Undergrad. Math. Ed., 9, 426–460 (2023)
    • Peer Instruction, first introduced by Eric Mazur in the late '90s, is a method aiming at active student participation in lectures. It includes conceptual questions (so-called ConcepTests) presented to the students, who vote on answer alternatives presented to them and then discuss their answers in small groups. As professors have been reported to implement several variants of this method, it is highly desirable to understand the specific effects of the individual elements of the method. In the present study, we focus on the role of the discussion phase. Our study implemented two conditions: Peer Instruction in classical fashion, and a variant, in which peer discussion was replaced with instructional explanation by a tutor. Interestingly, we found no significant difference in learning outcomes between the two conditions. Additionally, we had positive evaluations of the use of Peer Instruction in both variants, with no significant differences between the groups either. Also, no difference in the development of affective variables and learning strategies could be detected. As an important practical implication, these results show that both implemented variants of the Peer Instruction method are justifiable as far as learning outcomes, measured by exam results, or students’ assessment of the method are concerned. Our results put the widespread belief that it is mainly the peer discussion that accounts for the success of the use of ConcepTests into question.

Preprints

1. Thomas Bauer, Eva Müller-Hill:
   Enabling teachers to enact core elements of mathematics in the classroom: a retrospective design-research analysis of interrelated course conceptions and their development phases.
   International Journal of Mathematical Education in Science and Technology (2024). Advance online publication. [preprint] [published version]
   • Mathematics education in secondary schools should not only provide content knowledge but also an understanding of the fundamental processes by which new mathematical knowledge is created – students should experience how mathematics “works” as a discipline. Initiating this, however, has been shown to be a major challenge for teachers. We therefore undertook a developmental project to design courses that would better prepare pre-service teachers for this task. In this article, we conduct an analysis of the project from a design-research perspective, which provides as a result the theoretical output of the project in the form of an articulated design principle.
2. Thomas Bauer, Thomas Skill:
   Mid-Proof Peer Instruction: The Diagnostic Potential of Voting Questions in the Midst of Proofs.
   Teaching Mathematics and its Applications (2025). Advance online publication. [preprint] [published version]
   • Proofs play a central role in university mathematics, as they fulfill important functions in generating and communicating mathematical knowledge. However, both the experience of many lecturers and empirical studies show that students often do not benefit from proof presentations in lectures to the extent intended. Here we examine the question of what specific diagnostic potential the method of Mid-Proof Peer Instruction can offer in this context. Our investigations show two things: on the one hand, valuable information about students’ understanding of proof can be gained from the voting results obtained when using the method, and on the other hand, targeted lecturer input can be generated in the middle of an ongoing proof presentation on the basis of the results.